Kx b çfarë është k. Funksionet dhe grafikët

Mësoni të merrni derivatet e funksioneve. Derivati ​​karakterizon shpejtësinë e ndryshimit të një funksioni në një pikë të caktuar që shtrihet në grafikun e këtij funksioni. Në këtë rast, grafiku mund të jetë ose një vijë e drejtë ose e lakuar. Kjo do të thotë, derivati ​​karakterizon shkallën e ndryshimit të një funksioni në një moment të caktuar kohor. Mos harroni rregullat e përgjithshme me të cilat merren derivatet dhe vetëm atëherë vazhdoni në hapin tjetër.

• Lexo artikullin.
• Përshkruhet si të merren derivatet më të thjeshtë, për shembull, derivati ​​i një ekuacioni eksponencial. Llogaritjet e paraqitura në hapat e mëposhtëm do të bazohen në metodat e përshkruara aty.

Mësoni të bëni dallimin midis problemeve në të cilat pjerrësia duhet të llogaritet përmes derivatit të një funksioni. Problemet jo gjithmonë ju kërkojnë të gjeni pjerrësinë ose derivatin e një funksioni. Për shembull, mund t'ju kërkohet të gjeni shpejtësinë e ndryshimit të një funksioni në pikën A(x,y). Gjithashtu mund t'ju kërkohet të gjeni pjerrësinë e tangjentes në pikën A(x,y). Në të dyja rastet është e nevojshme të merret derivati ​​i funksionit.

Merrni derivatin e funksionit që ju është dhënë. Nuk ka nevojë të ndërtoni një grafik këtu - ju duhet vetëm ekuacioni i funksionit. Në shembullin tonë, merrni derivatin e funksionit f (x) = 2 x 2 + 6 x (\stil ekrani f(x)=2x^(2)+6x). Merrni derivatin sipas metodave të përshkruara në artikullin e përmendur më lart:

Zëvendësoni koordinatat e pikës që ju është dhënë në derivatin e gjetur për të llogaritur pjerrësinë. Derivati ​​i një funksioni është i barabartë me pjerrësinë në një pikë të caktuar. Me fjalë të tjera, f"(x) është pjerrësia e funksionit në çdo pikë (x,f(x)). Në shembullin tonë:

“Pikat kritike të një funksioni” - Pikat kritike. Ndër pikat kritike ka pika ekstreme. Një kusht i domosdoshëm për një ekstrem. Përgjigje: 2. Përkufizim. Por, nëse f" (x0) = 0, atëherë nuk është e nevojshme që pika x0 të jetë një pikë ekstreme. Pikat ekstreme (përsëritje). Pikat kritike të funksionit. Pikat ekstreme.

“Klasa e 6-të plani koordinativ” - Matematikë klasa e 6-të. 1. X. 1. Gjeni dhe shkruani koordinatat pika A, B, C,D: -6. Aeroplani koordinativ. O. -3. 7. U.

“Funksionet dhe grafikët e tyre” - Vazhdimësia. Vlera më e madhe dhe më e vogël e një funksioni. Koncepti i një funksioni të anasjelltë. Linear. Logaritmike. Monotone. Nëse k > 0, atëherë këndi i formuar është akut, nëse k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

“Funksionet e klasës së 9-të” - Veprime të vlefshme aritmetike mbi funksionet. [+] – mbledhje, [-] – zbritje, [*] – shumëzim, [:] – pjesëtim. Në raste të tilla, flasim për specifikimin grafik të funksionit. Formimi i një klase funksionesh elementare. Funksioni i fuqisë y=x0.5. Iovlev Maxim Nikolaevich, një nxënës i klasës së 9-të në shkollën e mesme RMOU Raduzhskaya.

“Ekuacioni i tangjentës së mësimit” - 1. Sqaroni konceptin e një tangjente në grafikun e një funksioni. Leibniz shqyrtoi problemin e vizatimit të një tangjente në një kurbë arbitrare. ALGORITMI PËR ZHVILLIMIN E EKUACIONIT PËR NJË TANGENT NË GRAFIN E FUNKSIONIT y=f(x). Tema e mësimit: Test: gjeni derivatin e një funksioni. Ekuacioni tangjent. Fluksioni. Klasa 10. Deshifroni atë që Isak Njutoni e quajti funksionin derivat.

“Ndërtoni një grafik të një funksioni” - Është dhënë funksioni y=3cosx. Grafiku i funksionit y=m*sin x. Grafikoni funksionin. Përmbajtja: Jepet funksioni: y=sin (x+?/2). Shtrirja e grafikut y=cosx përgjatë boshtit y. Për të vazhduar klikoni në l. Butoni i miut. Jepet funksioni y=cosx+1. Zhvendosja e grafikut y=sinx vertikalisht. Jepet funksioni y=3sinx. Zhvendosja horizontale e grafikut y=cosx.

Janë gjithsej 25 prezantime në temë

I përshtatshëm për, pasi të keni dhënë një vlerë specifike të ndryshores së pavarur x (argument), për të llogaritur vlerën përkatëse të ndryshores së varur y. Për shembull, nëse është dhënë funksioni y = x 2, d.m.th. f(x) = x 2, pastaj për x = 1 marrim y = 1 2 = 1; Shkurt, shkruhet kështu: f(1) = 1. Për x = 2 marrim f(2) = 2 2 = 4, pra y = 4; për x = - 3 marrim f(- 3) = (- 3) 2 = 9, d.m.th. y = 9, etj.

Tashmë në klasën e 7-të, unë dhe ti filluam të kuptojmë se në barazinë y = f(x) ana e djathtë, d.m.th. shprehja f(x) nuk kufizohet në katër rastet e listuara më sipër (C, kx, kx + m, x 2).

Për shembull, ne kemi hasur tashmë funksione pjesë-pjesë, d.m.th. funksione, të dhëna nga formula të ndryshme në intervale të ndryshme. Këtu është një funksion i tillë: y = f(x), ku

A ju kujtohet se si të grafikoni funksione të tilla? Së pari ju duhet të ndërtoni një parabolë y = x 2 dhe të merrni pjesën e saj në x< 0 (левая ветвь параболы, рис. 1), затем надо построить прямую у = 2х и взять ее часть при х >0 (Fig. 2). Dhe së fundi, ju duhet të kombinoni të dy pjesët e zgjedhura në një vizatim, d.m.th. të ndërtoni mbi një rrafshi koordinativ(shih Fig. 3).

Tani detyra jonë është si vijon: të plotësojmë stokun e funksioneve të studiuara. Në jetën reale, ka procese të përshkruara nga modele të ndryshme matematikore të formës y = f(x), jo vetëm ato që renditëm më lart. Në këtë seksion do të shqyrtojmë funksionin y = kx 2, ku Koeficient k është çdo numër jo zero.

Në fakt, funksioni y = kx 2 në një rast është pak i njohur për ju. Shikoni: nëse k = 1, atëherë marrim y = x 2; Ju e keni studiuar këtë funksion në klasën e 7-të dhe ndoshta mbani mend se grafiku i tij është një parabolë (Fig. 1). Le të diskutojmë se çfarë ndodh me vlerat e tjera të koeficientit k.

Konsideroni dy funksione: y = 2x 2 dhe y = 0,5x 2. Le të bëjmë një tabelë vlerash për funksionin e parë y = 2x 2:

Le të ndërtojmë pikat (0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1.5; 4.5), (-1.5; 4.5) në rrafshi koordinativ(Fig. 4); ata përvijojnë një vijë të caktuar, le ta vizatojmë atë (Fig. 5).

Le të bëjmë një tabelë vlerash për funksionin e dytë y = 0.5x 2:

Le të ndërtojmë pikat (0; 0), (1; 0.5), (-1; 0.5), (2; 2), (-2; 2), C; 4.5), (-3; 4.5) në planin koordinativ (Fig. 6); ata përshkruajnë një vijë të caktuar, le ta vizatojmë atë (Fig. 7)

.

Pikat e paraqitura në Fig. 4 dhe 6 nganjëherë quhen pika kontrolli për grafikun e funksionit përkatës.

Krahasoni figurat 1, 5 dhe 7. A nuk është e vërtetë që vijat e vizatuara janë të ngjashme? Secila prej tyre quhet parabolë; në këtë rast, pika (0; 0) quhet kulm i parabolës, dhe boshti y është boshti i simetrisë së parabolës. "Shpejtësia e lëvizjes lart" e degëve të parabolës ose, siç thonë ata, "shkalla e pjerrësisë" e parabolës varet nga vlera e koeficientit k. Kjo është qartë e dukshme në Fig. 8, ku të tre parabolat e ndërtuara më sipër ndodhen në të njëjtin plan koordinativ.

Situata është saktësisht e njëjtë me çdo funksion tjetër të formës y = kx 2, ku k > 0. Grafiku i tij është një parabolë me kulmin në fillim koordinatat, degët e parabolës janë të drejtuara lart, dhe sa më të pjerrëta aq më i lartë është koeficienti k. Boshti y është boshti i simetrisë së parabolës. Nga rruga, për hir të shkurtësisë, matematikanët shpesh thonë "parabola y = kx 2" në vend të frazës së gjatë "parabola që shërben si grafik i funksionit y = kx 2", dhe në vend të termit "boshti i simetrisë së një parabolë” ata përdorin termin “bosht i parabolës”.

A vini re se ka një analogji me funksionin y = kx? Nëse k > 0, atëherë grafiku i funksionit y = kx është një drejtëz që kalon nga origjina e koordinatave (mos harroni, thamë shkurt: drejtëz y = kx), dhe këtu, gjithashtu, "shkalla e pjerrësisë" e drejtëza varet nga vlera e koeficientit k. Kjo është qartë e dukshme në Fig. 9, ku në një sistem koordinativ janë paraqitur grafikët funksionet lineare y = kx për tre vlera të koeficientit

Le të kthehemi te funksioni y = kx 2. Le të zbulojmë se si qëndrojnë gjërat në rastin e një koeficienti negativ ft. Le të ndërtojmë, për shembull, një grafik të funksionit

y = - x 2 (këtu k = - 1). Le të krijojmë një tabelë vlerash:

Shënoni pikët (0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; - 9) në planin koordinativ (Fig. 10); ata përvijojnë një vijë të caktuar, le ta vizatojmë atë (Fig. 11). Kjo është një parabolë me kulmin e saj në pikën (0; 0), boshti y është boshti i simetrisë, por ndryshe nga rasti kur k > 0, këtë herë degët e parabolës janë të drejtuara poshtë. Situata është e ngjashme për të tjerët vlerat negative koeficienti k.

Pra, grafiku i një funksioni është një parabolë me kulmin e saj në origjinë; boshti y është boshti i parabolës; degët e parabolës janë të drejtuara lart në k>0 u poshtë në k<0.

Le të vërejmë gjithashtu se parabola y = kx 2 prek boshtin x në pikën (0; 0), domethënë, njëra degë e parabolës kalon pa probleme në tjetrën, sikur të shtypet kundër boshtit x.

Nëse ndërtohet në një sistem koordinativ grafikët e funksioneve y = x 2 dhe y = - x2, atëherë është e lehtë të shihet se këto parabola janë simetrike me njëra-tjetrën rreth boshtit x, i cili është qartë i dukshëm në Fig. 12. Në të njëjtën mënyrë, parabolat y = 2x 2 dhe y = - 2x 2 janë simetrike me njëra-tjetrën në lidhje me boshtin x (mos u bëni dembel, ndërtoni këto
dy parabola në të njëjtin sistem koordinativ dhe sigurohuni që pohimi të jetë i vërtetë).

Në përgjithësi, grafiku i funksionit y = - f(x) është simetrik me grafikun e funksionit y = f(x) në raport me abshisën.

Vetitë e funksionit y = kx 2 për k > 0

Duke përshkruar vetitë e këtij funksioni, ne do të mbështetemi në të modeli gjeometrik- parabolë (Fig. 13).

1. Meqenëse për çdo vlerë të x, vlera përkatëse e y mund të llogaritet duke përdorur formulën y = kx 2, funksioni përcaktohet në çdo pikë x (për çdo vlerë të argumentit x). Shkurtimisht, shkruhet kështu: domeni i përcaktimit të funksionit është (-oo, +oo), pra e gjithë linja koordinative.

2. y = 0 në x = 0; y > O në . Kjo mund të shihet edhe nga grafiku i funksionit (është i vendosur tërësisht mbi boshtin x), por mund të justifikohet pa ndihmën e një grafiku: nëse

Atëherë kx 2 > O si prodhim i dy numrave pozitivë k dhe x 2 .

3. y = kx 2 - funksion i vazhdueshëm. Kujtojmë se për momentin ne e konsiderojmë këtë term si sinonim për fjalinë "grafiku i një funksioni është një vijë e fortë që mund të vizatohet pa hequr lapsin nga letra". Në klasat më të larta, do të jepet një interpretim më i saktë matematikor i konceptit të vazhdimësisë së një funksioni, duke mos u mbështetur në ilustrimin gjeometrik.

4.y/ naim = 0 (e arritur në x = 0); nai6 nuk ekziston.

Le të kujtojmë se (/max është vlera më e vogël e funksionit, dhe Unaib. është vlera më e madhe e funksionit në një interval të caktuar; nëse intervali nuk është specifikuar, atëherë unaim- dhe y max. janë, përkatësisht, më të voglat dhe vlera më e lartë funksionon në fushën e përkufizimit.

5. Funksioni y = kx 2 rritet me x > O dhe zvogëlohet me x< 0.

Kujtojmë se në kursin e algjebrës së klasës së 7-të ne ramë dakord të thërrasim një funksion, grafiku i të cilit në intervalin në shqyrtim shkon nga e majta në të djathtë sikur "përpjetë", duke u rritur dhe funksionin, grafiku i të cilit në intervalin në shqyrtim shkon nga e majta në të djathtë, sikur “teposhtë”, është në rënie. Më saktësisht, mund të themi këtë: funksioni y = f (x) quhet rritje në intervalin X nëse në këtë interval një vlerë më e madhe e argumentit i përgjigjet një vlere më të madhe të funksionit; një funksion y = f (x) thuhet se zvogëlohet në një interval X nëse në këtë interval një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të vogël të funksionit.

Në librin shkollor Algjebra 7, ne e quajtëm procesin e renditjes së vetive të një funksioni që lexon një grafik. Procesi i leximit të një grafiku gradualisht do të bëhet më i pasur dhe më interesant ndërsa mësojmë vetitë e reja të funksioneve. Ne diskutuam pesë pronat e renditura më sipër në klasën e 7-të për funksionet që studiuam atje. Le të shtojmë një pronë të re.

Një funksion y = f(x) quhet i kufizuar më poshtë nëse të gjitha vlerat e funksionit janë më të mëdha se një numër i caktuar. Gjeometrikisht, kjo do të thotë se grafiku i funksionit ndodhet mbi një të caktuar drejt, paralel me boshtin x.

Tani shikoni: grafiku i funksionit y = kx 2 ndodhet mbi vijën e drejtë y = - 1 (ose y = - 2, nuk ka rëndësi) - tregohet në Fig. 13. Kjo do të thotë se y - kx2 (k > 0) është një funksion i kufizuar nga poshtë.

Së bashku me funksionet e kufizuara më poshtë, konsiderohen edhe funksionet e kufizuara më lart. Një funksion y - f(x) thuhet se është i kufizuar nga lart nëse të gjitha vlerat e funksionit janë më të vogla se një numër i caktuar. Gjeometrikisht, kjo do të thotë se grafiku i funksionit ndodhet nën një vijë të drejtë paralele me boshtin x.
A ka një vijë të tillë për parabolën y = kx 2, ku k > 0? Nr. Kjo do të thotë që funksioni nuk është i kufirit të sipërm.

Pra, kemi një pronë më shumë, le ta shtojmë atë në pesë të listuara më sipër.

6. Funksioni y = kx 2 (k > 0) është i kufizuar poshtë dhe jo i kufizuar sipër.

Vetitë e funksionit y = kx 2 në k< 0

Kur përshkruajmë vetitë e këtij funksioni, ne mbështetemi në gjeometrinë e tij model- parabolë (Fig. 14).

1. Fusha e përcaktimit të funksionit është (-oo, +oo).

2. y = 0 në x = 0; në< 0 при .

Z.y = kx 2 - funksion i vazhdueshëm.
4. y nai6 = 0 (e arritur në x = 0), unaim nuk ekziston.

5. Funksioni rritet me x< 0, убывает при х > 0.

6.Funksioni është i kufizuar nga lart dhe jo i kufizuar nga poshtë.

Le të shpjegojmë veçorinë e fundit: ekziston një vijë e drejtë paralele me boshtin x (për shembull, y = 1, është vizatuar në Fig. 14), e tillë që e gjithë parabola shtrihet nën këtë vijë të drejtë; kjo do të thotë se funksioni është i kufizuar më lart. Nga ana tjetër, është e pamundur të vizatohet një vijë e drejtë paralele me boshtin x në mënyrë që e gjithë parabola të jetë e vendosur mbi këtë vijë të drejtë; kjo do të thotë që funksioni nuk është i kufizuar më poshtë.

Rendi i lëvizjeve të përdorura më sipër kur renditen vetitë e një funksioni nuk është një ligj, për sa kohë që është zhvilluar kronologjikisht në këtë mënyrë.

Do të zhvillojmë gradualisht një renditje pak a shumë të përcaktuar lëvizjesh dhe do ta unifikojmë në kursin e algjebrës së klasës së 9-të.

Shembulli 1. Gjeni vlerat më të vogla dhe më të mëdha të funksionit y = 2x 2 në segmentin: a) ; b) [- 2, - 1]; c) [- 1, 1,5].

a) Të ndërtojmë një grafik të funksionit y = 2x2 dhe të theksojmë pjesën e tij në segment (Fig. 15). Vërejmë se 1/emër. = 0 (e arritur në x = 0), dhe y max = 8 (e arritur në x = 2).

b) Të ndërtojmë një grafik të funksionit y = 2x2 dhe të theksojmë pjesën e tij në segmentin [- 2, - 1] (Fig. 16). Vëmë re se 2/max = 2 (arritur në x = - 1), dhe y max = 8 (arritur në x = - 2).

c) Të ndërtojmë një grafik të funksionit y = 2x2 dhe të theksojmë pjesën e tij në segmentin [- 1, 1.5] (Fig. 17). Vëmë re se unanm = 0 (arritur në x = 0), dhe y arrihet më së shumti në pikën x = 1,5; Le të llogarisim këtë vlerë: (1.5) = 2-1.5 2 = 2-2.25 = 4.5. Pra, y max =4.5.

Shembulli 2. Zgjidheni ekuacionin - x 2 = 2x - 3.

Zgjidhje. Në tekstin shkollor “Algjebra-7” zhvilluam algoritmi zgjidhje grafike e ekuacioneve, le ta rikujtojmë atë.

Për të zgjidhur grafikisht ekuacionin f(x) = g (x), ju duhet:

1) konsideroni dy funksione y = -x 2 dhe y = 2x -3;
2) të ndërtojë një grafik të funksionit i/ = / (x);
3) të ndërtojë një grafik të funksionit y = g (x);
4) gjeni pikat e kryqëzimit të grafikëve të ndërtuar; abscis-
Sys-i i këtyre pikave janë rrënjët e ekuacionit f(x) = g (x).

Le ta zbatojmë këtë algoritëm në ekuacionin e dhënë.
1) Konsideroni dy funksione: y = - x2 dhe y = 2x - 3.
2) Të ndërtojmë një parabolë - një grafik të funksionit y = - x 2 (Fig. 18).

3) Të ndërtojmë një grafik të funksionit y = 2x - 3. Kjo është një vijë e drejtë për ta ndërtuar atë, mjafton të gjejmë çdo dy pikë në grafik. Nëse x = 0, atëherë y = - 3; nëse x = 1, atëherë y = -1. Pra, gjetëm dy pika (0; -3) dhe (1; -1). Drejtëza që kalon nëpër këto dy pika (grafiku i funksionit y = 2x - 3) është paraqitur në të njëjtin vizatim (shih Fig. 18).

4) Sipas vizatimit, konstatojmë se drejtëza dhe parabola priten në dy pika A(1; -1) dhe B(-3; -9). Kjo do të thotë se ky ekuacion ka dy rrënjë: 1 dhe - 3 - këto janë abshisat e pikave A dhe B.

Përgjigje: 1,-3.

Komentoni. Sigurisht, nuk mund t'u besoni verbërisht ilustrimeve grafike. Ndoshta thjesht na duket se pika A ka koordinata (1; - 1), por në fakt ato janë të ndryshme, për shembull (0.98; - 1.01)?

Prandaj, është gjithmonë e dobishme të kontrolloni veten. Pra, në shembullin e konsideruar, duhet të siguroheni që pika A(1; -1) i përket parabolës y = - x 2 (kjo është e lehtë - thjesht zëvendësoni koordinatat e pikës A në formulën y = - x 2 ne marrim - 1 = - 1 2 - barazinë numerike të saktë) dhe drejtëzën y ​​= 2x - 3 (dhe kjo është e lehtë - thjesht zëvendësoni koordinatat e pikës A në formulën y = 2x - 3; marrim - 1 = ; 2-3 - barazia e saktë numerike). E njëjta gjë duhet bërë edhe për pikën 8. Ky kontroll tregon se në ekuacionin e marrë në shqyrtim, vëzhgimet grafike çuan në rezultatin e saktë.

Shembulli 3. Zgjidheni sistemin

Zgjidhje. Le ta transformojmë ekuacionin e parë të sistemit në formën y = - x 2. Grafiku i këtij funksioni është një parabolë e paraqitur në Fig. 18.

Le ta transformojmë ekuacionin e dytë të sistemit në formën y = 2x - 3. Grafiku i këtij funksioni është drejtëza e paraqitur në Fig. 18.

Parabola dhe drejtëza kryqëzohen në pikat A (1; -1) dhe B (- 3; - 9). Koordinatat e këtyre pikave shërbejnë si zgjidhje për një sistem të caktuar ekuacionesh.

Përgjigje: (1; -1), (-3; -9).

Shembulli 4. Jepet një funksion y - f (x), ku

Kërkohet:

a) llogarit f(-4), f(-2), f(0), f(1.5), f(2), f(3);

b) të ndërtojë një grafik të funksionit;

c) përdorni një grafik për të renditur vetitë e funksionit.

a) Vlera x = - 4 plotëson kushtin - prandaj, f(-4) duhet të llogaritet duke përdorur rreshtin e parë të përkufizimit të funksionit Kemi f(x) = - 0.5x2, që do të thotë f(-4) = -0,5 . (-4) 2 = -8.

Në mënyrë të ngjashme gjejmë:

f(-2) = -0,5 . (-2) 2 =-2;
f(0) = -0,5 . 0 2 = 0.

Vlera plotëson kushtin, kështu që duhet të llogaritet duke përdorur rreshtin e dytë të specifikimit të funksionit. Kemi f(x) = x + 1, që do të thotë Vlera x = 1.5 plotëson kushtin 1< х < 2, т. е. f(1,5) надо вычислять по третьей строке задания функции. Имеем f (х) = 2х 2 , значит, f(1,5) = 2-1,5 2 = 4,5.
Në mënyrë të ngjashme marrim f(2)= 2 . 2 2 =8.

Vlera x = 3 nuk plotëson asnjë nga tre kushtet për specifikimin e një funksioni, dhe për këtë arsye f(3) nuk mund të llogaritet në këtë rast, pika x = 3 nuk i përket fushës së përkufizimit të funksionit. Detyra e llogaritjes së f(3) është e pasaktë.

b) Do të ndërtojmë grafikun “pjesë-pjesë”. Së pari, le të ndërtojmë një parabolë y = -0.5x 2 dhe të zgjedhim pjesën e saj në segmentin [-4, 0] (Fig. 19). Më pas ndërtojmë drejtëzën y ​​= x + 1 u. Le të zgjedhim pjesën e saj në gjysmëintervalin (0, 1] (Fig. 20) Më pas do të ndërtojmë një parabolë y = 2x2 dhe do të zgjedhim pjesën e saj në gjysmëintervalin (1, 2] (Fig. 21).

Së fundi, ne do të përshkruajmë të tre "pjesët" në një sistem koordinativ; fitojmë një grafik të funksionit y = f(x) (Fig. 22).

c) Le të rendisim vetitë e funksionit ose, siç ramë dakord të themi, të lexojmë grafikun.

1. Fusha e përcaktimit të funksionit është segmenti [-4, 2].

2. y = 0 në x = 0; y > 0 në 0<х<2;у<0 при - 4 < х < 0.

3. Funksioni i nënshtrohet një ndërprerjeje në x = 0.

4. Funksioni rritet në segmentin [-4, 2].

5. Funksioni është i kufizuar si nga poshtë ashtu edhe nga lart.

6. y max = -8 (e arritur në x = -4); y më 6 . = 8 (arritur në x = 2).

Shembulli 5.Është dhënë funksioni y = f(x), ku f(x) = 3x 2. Gjej.

Funksioni linear y = kx + m kur m = 0 merr formën y = kx. Në këtë rast, mund të vëreni se:

1. Nëse x = 0, atëherë y = 0. Prandaj, grafiku i funksionit linear y = kx kalon nëpër origjinë, pavarësisht nga vlera e k.
2. Nëse x = 1, atëherë y = k.

Le të shqyrtojmë vlera të ndryshme të k, dhe si ndryshon y nga kjo.

Nëse k është pozitive (k > 0), atëherë drejtëza (grafiku i funksionit), që kalon nga origjina, do të shtrihet në tremujorët e koordinatave I dhe III. Në fund të fundit, me k pozitive, kur x është pozitive, atëherë edhe y do të jetë pozitiv. Dhe kur x është negativ, y do të jetë gjithashtu negativ. Për shembull, për funksionin y = 2x, nëse x = 0,5, atëherë y = 1; nëse x = –0,5, atëherë y = –1.

Tani, duke supozuar se k është pozitive, merrni parasysh tre ekuacione të ndryshme lineare. Le të jenë këto: y = 0,5x dhe y = 2x dhe y = 3x. Si ndryshon vlera e y për të njëjtin x? Është e qartë se rritet me k: sa më i madh k, aq më i madh y. Kjo do të thotë se drejtëza (grafiku i funksionit) me vlerë më të madhe k do të ketë një kënd më të madh ndërmjet boshtit x (boshtit të abshisës) dhe grafikut të funksionit. Kështu, këndi në të cilin boshti i drejtë kalon boshtin x varet nga k, dhe për këtë arsye k flitet si pjerrësia e funksionit linear.

Tani le të studiojmë situatën kur k x është pozitive, atëherë y do të jetë negativ; dhe anasjelltas: nëse x y > 0. Kështu, grafiku i funksionit y = kx për në k

Supozoni se ka ekuacione lineare y = –0,5x, y = –2x, y = –3x. Për x = 1 marrim y = –0,5, y = –2, y = –3. Për x = 2 marrim y = –1, y = –2, y = –6. Kështu, sa më i madh k, aq më i madh y nëse x është pozitiv.

Megjithatë, nëse x = –1, atëherë y = 0,5, y = 2, y = 3. Për x = –2 marrim y = 1, y = 4, y = 6. Këtu, ndërsa vlera e k zvogëlohet, y në x rritet

Grafiku i funksionit në k

Grafikët e funksioneve të tipit y = kx + m ndryshojnë nga grafikët y = km vetëm në një zhvendosje paralele.

Një funksion linear është një funksion i formës y=kx+b, ku x është ndryshorja e pavarur, k dhe b janë çdo numër.
Grafiku i një funksioni linear është një vijë e drejtë.

1. Për të hartuar një grafik funksioni, na duhen koordinatat e dy pikave që i përkasin grafikut të funksionit. Për t'i gjetur ato, duhet të merrni dy vlera x, t'i zëvendësoni në ekuacionin e funksionit dhe t'i përdorni për të llogaritur vlerat përkatëse y.

Për shembull, për të vizatuar funksionin y= x+2, është e përshtatshme të marrim x=0 dhe x=3, atëherë ordinatat e këtyre pikave do të jenë të barabarta me y=2 dhe y=3. Marrim pikët A(0;2) dhe B(3;3). Le t'i lidhim ato dhe të marrim një grafik të funksionit y= x+2:

2. Në formulën y=kx+b, numri k quhet koeficient proporcionaliteti:
nëse k>0, atëherë funksioni y=kx+b rritet
nëse k
Koeficienti b tregon zhvendosjen e grafikut të funksionit përgjatë boshtit OY:
nëse b>0, atëherë grafiku i funksionit y=kx+b merret nga grafiku i funksionit y=kx duke zhvendosur b njësitë lart përgjatë boshtit OY.
nëse b
Në figurën e mëposhtme janë paraqitur grafikët e funksioneve y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Vini re se në të gjitha këto funksione koeficienti k Mbi zero, dhe funksionet janë në rritje. Për më tepër, sa më e madhe të jetë vlera e k, aq më i madh është këndi i prirjes së drejtëzës në drejtimin pozitiv të boshtit OX.

Në të gjitha funksionet b=3 - dhe ne shohim që të gjithë grafët kryqëzojnë boshtin OY në pikën (0;3)

Tani merrni parasysh grafikët e funksioneve y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Këtë herë në të gjitha funksionet koeficienti k më pak se zero dhe funksionet janë në rënie. Koeficienti b=3, dhe grafikët, si në rastin e mëparshëm, presin boshtin OY në pikën (0;3)

Shqyrtoni grafikët e funksioneve y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Tani në të gjitha ekuacionet e funksionit koeficientët k janë të barabartë me 2. Dhe kemi marrë tre drejtëza paralele.

Por koeficientët b janë të ndryshëm, dhe këta grafikë kryqëzojnë boshtin OY në pika të ndryshme:
Grafiku i funksionit y=2x+3 (b=3) pret boshtin OY në pikën (0;3)
Grafiku i funksionit y=2x (b=0) pret boshtin OY në pikën (0;0) - origjinën.
Grafiku i funksionit y=2x-3 (b=-3) pret boshtin OY në pikën (0;-3)

Pra, nëse i dimë shenjat e koeficientëve k dhe b, atëherë mund të imagjinojmë menjëherë se si duket grafiku i funksionit y=kx+b.
Nëse k 0

Nëse k>0 dhe b>0, atëherë grafiku i funksionit y=kx+b duket kështu:

Nëse k>0 dhe b, atëherë grafiku i funksionit y=kx+b duket kështu:

Nëse k, atëherë grafiku i funksionit y=kx+b duket kështu:

Nëse k=0, atëherë funksioni y=kx+b kthehet në funksion y=b dhe grafiku i tij duket si:

Ordinatat e të gjitha pikave në grafikun e funksionit y=b janë të barabarta me b Nëse b=0, atëherë grafiku i funksionit y=kx (proporcionaliteti i drejtëpërdrejtë) kalon në origjinë:

3. Le të shënojmë veçmas grafikun e ekuacionit x=a. Grafiku i këtij ekuacioni është një drejtëz paralele me boshtin OY, të gjitha pikat e së cilës kanë një abshisë x=a.

Për shembull, grafiku i ekuacionit x=3 duket kështu:
Kujdes! Ekuacioni x=a nuk është funksion, kështu që një vlerë e argumentit korrespondon me vlera të ndryshme të funksionit, gjë që nuk korrespondon me përkufizimin e një funksioni.

4. Kushti për paralelizmin e dy drejtëzave:

Grafiku i funksionit y=k 1 x+b 1 është paralel me grafikun e funksionit y=k 2 x+b 2 nëse k 1 =k 2

5. Kushti që dy drejtëza të jenë pingule:

Grafiku i funksionit y=k 1 x+b 1 është pingul me grafikun e funksionit y=k 2 x+b 2 nëse k 1 *k 2 =-1 ose k 1 =-1/k 2

6. Pikat e prerjes së grafikut të funksionit y=kx+b me boshtet e koordinatave.

Me bosht OY. Abshisa e çdo pike që i përket boshtit OY është e barabartë me zero. Prandaj, për të gjetur pikën e kryqëzimit me boshtin OY, duhet të zëvendësoni zeron në ekuacionin e funksionit në vend të x. Marrim y=b. Domethënë, pika e kryqëzimit me boshtin OY ka koordinata (0; b).

Me bosht OX: Ordinata e çdo pike që i përket boshtit OX është zero. Prandaj, për të gjetur pikën e kryqëzimit me boshtin OX, duhet të zëvendësoni zeron në ekuacionin e funksionit në vend të y. Marrim 0=kx+b. Prandaj x=-b/k. Kjo do të thotë, pika e kryqëzimit me boshtin OX ka koordinata (-b/k;0):