hjem→Barns helse→ Elektrisk energi til et system av ladninger. Elektrisk energi til et ladningssystem Arbeid av et elektrisk felt for å flytte en ladning

Elektrisk energi til et system av ladninger. Elektrisk energi til et ladningssystem Arbeid av et elektrisk felt for å flytte en ladning

1. Tenk først på et system som består av to punktavgifter 1 og 2. La oss finne den algebraiske summen av det elementære arbeidet til kreftene f 1 og F 2 som disse ladningene samhandler med. Slipp inn noe K-referansesystem for tiden dt ladningene har flyttet seg dl 1 og dl 2 . Da er arbeidet til disse kreftene δА 1,2 = F 1 dl 1 + F 2 dl 2. Gitt at F 2 = -Fl(ifølge Newtons tredje lov): δА 1,2 = F 1 (dl 1 - dl 2). Verdien i parentes er forskyvningen av ladning 1 om siktelsen 2. Mer presist er dette forskyvningen av ladning 1 i K"-referansesystem, stivt forbundet med ladningen 2 og beveger seg sammen med det gradvis i forhold til det originale K-systemet. Faktisk er forskyvningen dl 1 av ladning 1 i K-systemet kan representeres som forskyvningen dl 2 K "-systemet pluss forskyvningen dl 1 av ladning 1 med hensyn til dette K "-systemet: dl 1 \u003d dl 2 + dl 1. Derfor dl 1 -dl 2 \u003d dl` 1 og δA 1,2 \u003d F 1 dl` 1. Arbeidet δA1,2 ikke avhenge av valget av det originale K-systemet Kraft F 1 som virker på ladning 1 fra ladning 2 er konservativ (som en sentral kraft).Derfor kan arbeidet til denne kraften på forskyvning dl` 1 representeres som en reduksjon i potensialet energi av ladning 1 i feltet for ladning 2 eller som en reduksjon i den potensielle energien for interaksjon av disse ladningsparene: δA 1.2 \u003d -dW 1.2, hvor W12 er en verdi som bare avhenger av avstanden mellom disse ladningene.

2. La oss gå over til et system med tre punktavgifter (resultatet oppnådd for dette tilfellet kan lett generaliseres til et system med et vilkårlig antall ladninger). Arbeidet utført av alle interaksjonskrefter under elementære forskyvninger av alle ladninger kan representeres som summen av arbeidet til alle tre par av interaksjoner, dvs. δА = δA 1,2 + δA 1,3 + δА 2,3. Men for hvert par av interaksjoner δA i,k \u003d -dW ik, derfor δA \u003d -d (W 12 + W 13 + W 23) \u003d -dW, der W er interaksjonsenergien til et gitt system av ladninger, W \u003d W 12 + W 13 + W23. Hvert ledd av denne summen avhenger av avstanden mellom de tilsvarende ladningene, så energien W til et gitt system av ladninger er en funksjon av konfigurasjonen. Lignende resonnement er også gyldig for et system med et hvilket som helst antall avgifter. Derfor kan det hevdes at hver konfigurasjon av et vilkårlig system av ladninger har sin egen energiverdi W, og δА = -dW.

Interaksjonsenergi. Tenk på et system med trepunktladninger, hvor det er vist at W = W 12 + W 13 + W 23 . La oss representere hvert ledd W ik i en symmetrisk form: W ik = (W ik + W ki)/2, siden W ik = W ki . Så W = (W 12 + W 21 + W 13 + W 3l + W 23 + W 32)/2. Grupper medlemmene: W=[(W 12 +W 13) + (W 21 +W 23) + (W 3l +W 32)]/2. Hver sum i parentes er energien Wi for samspillet mellom den i-te ladningen og resten av ladningene. Derfor:

Med tanke på at W i = q i φ i , hvor q i er den i-te ladningen til systemet; φ i-potensiale skapt på stedet for i-ro-ladningen av alle andre ladninger i systemet, får vi det endelige uttrykket for interaksjonsenergien til systemet med punktladninger:

Total interaksjonsenergi. Hvis ladningene fordeles kontinuerlig, får vi ved å utvide ladningssystemet til et sett med elementære ladninger dq = ρdV og gå fra summering i (4.3) til integrasjon.

(4.4), hvor φ er potensialet som skapes av alle ladninger i systemet i et element med volum dV. Et lignende uttrykk kan skrives for fordelingen av ladninger over en overflate, og erstatte ρ med σ og dV med dS. La systemet bestå av to kuler med ladninger q 1 og q 2 . Avstanden mellom kulene er mye større enn størrelsen deres, så ladningene q l og q 2 kan betraktes som punktladninger. Finn energien W til det gitte systemet ved å bruke begge formlene. I følge formel (4.3), hvor φ 1 er potensialet skapt av ladningen q2 på stedet for ladningen q 1, potensialet φ 2 har en lignende betydning. I henhold til formel (4.4) er det nødvendig å dele ladningen til hver kule i uendelig små elementer ρdV og multipliser hver av dem med potensialet φ skapt ikke bare av ladningene til en annen ball, men også med elementene i ladningen til denne ball. Deretter: W = W 1 + W 2 + W 12 (4,5), hvor W 1 - energien til interaksjon med hverandre av elementene i ladningen til den første ballen; W2- det samme, men for den andre ballen; W 12- energien til samspillet mellom elementene i ladningen til den første ballen med elementene i ladningen til den andre ballen. Energi W 1 og W 2 kalles selvenergier av ladninger q 1 og q 2, og W 12 er energien til interaksjon av ladning q 1 med ladning q 2.

Energien til en enslig leder. La konduktøren få en ladning q og potensial φ. Siden verdien av φ er den samme på alle punkter der det er en ladning, kan φ tas ut under integrertegnet i formel (4.4). Da er det gjenværende integralet ikke annet enn ladningen q på lederen, og W=qφ/2=Cφ 2 /2=q 2 /2C (4.6).(Tatt i betraktning at С = q/φ).

Kondensator energi. La q og φ - ladningen og potensialet til den positivt ladede kondensatorplaten. I henhold til formel (4.4) kan integralet deles i to deler - for den ene og den andre platene. Deretter

W = (q + φ + –q _ φ_)/2. Fordi q_ = –q + , da er W = q + (φ + –φ_)/2 = qU/2, hvor q=q + - kondensatorlading, U- potensialforskjell på tvers av platene. С=q/U => W= qU/2=CU 2 /2=q 2 /2C(4,7). Tenk på prosessen med å lade en kondensator som en overføring av ladning i små porsjoner dq "fra en plate til en annen. Det elementære arbeidet som gjøres av oss i dette tilfellet mot kreftene i feltet vil bli skrevet som dА=U'dq'=(q'/C)dq', hvor U' er potensialforskjellen mellom platene i øyeblikket når neste del av ladningen dq overføres. "Integrering av dette uttrykket over q" fra 0 til q, vi får A \u003d q 2 / 2C, som sammenfaller med uttrykket for den totale energien til kondensatoren. I tillegg er det resulterende uttrykket for arbeid A også gyldig i tilfellet når det er et vilkårlig dielektrikum mellom kondensatorplatene. Dette gjelder også formler (4.6).

Slutt på arbeidet -

Dette emnet tilhører:

Elektrisk energi til ladningssystemet

På nettstedet leser du: "elektrisk energi av ladesystemet"

Hvis du trenger ytterligere materiale om dette emnet, eller du ikke fant det du lette etter, anbefaler vi å bruke søket i vår database over verk:

Hva skal vi gjøre med det mottatte materialet:

Hvis dette materialet viste seg å være nyttig for deg, kan du lagre det på siden din på sosiale nettverk:

Energitilnærming til samhandling. Energitilnærmingen til samspillet mellom elektriske ladninger er, som vi vil se, svært fruktbar i sine praktiske anvendelser, og i tillegg åpner den for muligheten for å se på det elektriske feltet i seg selv som en fysisk realitet.

Først og fremst skal vi finne ut hvordan man kan komme til begrepet interaksjonsenergien til et ladningssystem.

1. Tenk først på et system med to punktladninger 1 og 2. Finn den algebraiske summen av det elementære arbeidet til kreftene F, og F2, som disse ladningene samhandler med. La inn en eller annen K-referanseramme i løpet av tiden cU ladningene beveger seg dl, og dl 2. Deretter det tilsvarende arbeidet til disse kreftene

6L, 2 = F, dl, + F2 dl2.

Med tanke på at F2 = - F, (i henhold til Newtons tredje lov), omskriver vi det forrige uttrykket: Mlj, = F,(dl1-dy.

Verdien i parentes er bevegelsen av ladning 1 i forhold til ladning 2. Mer presist er det bevegelsen av ladning / i /("-referansesystemet, stivt forbundet med ladning 2 og beveger seg translasjonsmessig med den i forhold til originalen /( Faktisk kan forskyvningen dl, ladning 1 i /(-systemet representeres som forskyvning av dl2 /("-system pluss forskyvning av dl, ladning / i forhold til dette /("-system: dl, = dl2+dl ,. Derfor dl, - dl2 = dl" , og

Så, det viser seg at summen av elementært arbeid i en vilkårlig /(-referanseramme alltid er lik det elementære arbeidet utført av kraften som virker på en ladning i referanserammen der den andre ladningen er i ro. Med andre ord, arbeidet 6L12 er ikke avhengig av valget av de innledende /( - referansesystemene.

Kraften F„ som virker på ladningen / fra siden av ladningen 2 er konservativ (som den sentrale kraften). Derfor kan arbeidet til denne kraften på forskyvning dl representeres som en reduksjon i den potensielle energien til ladning 1 i ladningsfeltet 2 eller som en reduksjon i den potensielle energien til samspillet til det betraktede paret av ladninger:

hvor 2 er en verdi som kun avhenger av avstanden mellom disse ladningene.

2. La oss nå gå videre til et system med tre punktavgifter (resultatet oppnådd for dette tilfellet kan lett generaliseres til et system med et vilkårlig antall ladninger). Arbeidet utført av alle interaksjonskrefter under elementære forskyvninger av alle ladninger kan representeres som summen av arbeidet til alle tre par av interaksjoner, dvs. 6L = 6L (2 + 6L, 3 + 6L 2 3. Men for hvert par av interaksjoner , så snart som ble vist, 6L ik = - d Wik, så

der W er interaksjonsenergien til et gitt system av ladninger,

W "= wa + Wtz + w23.

Hvert ledd i denne summen avhenger av avstanden mellom de tilsvarende ladningene, så energien W

av et gitt system av ladninger er en funksjon av dets konfigurasjon.

Lignende resonnement er åpenbart gyldig for et system med et hvilket som helst antall avgifter. Derfor kan det hevdes at hver konfigurasjon av et vilkårlig ladningssystem har sin egen verdi av energi W og arbeidet til alle interaksjonskrefter når denne konfigurasjonen endres er lik reduksjonen i energi W:

bl = -ag. (4.1)

Interaksjonsenergi. La oss finne et uttrykk for energien W. Tenk først på nytt systemet med tre punktladninger, som vi har vist at W = - W12+ ^13+ ^23- La oss transformere denne summen som følger. Vi representerer hvert ledd Wik i en symmetrisk form: Wik= ]/2(Wlk+ Wk), siden Wik=Wk, Then

La oss gruppere medlemmene med de samme første indeksene:

Hver sum i parentes er energien Wt av samspillet mellom den i-te ladningen og resten av ladningene. Så det siste uttrykket kan skrives om slik:

Generalisering av en vilkårlig

av det oppnådde uttrykket for et system med antall siktelser er åpenbart, fordi det er klart at resonnementet som gjennomføres er helt uavhengig av antallet siktelser som utgjør systemet. Altså, interaksjonsenergien til et system av punktladninger

Med tanke på at Wt =<7,9, где qt - i-й заряд системы; ф,- потенциал, создаваемый в месте нахождения г-го заряда всеми остальными зарядами системы, получим окончательное выражение для энергии взаимодействия системы точечных зарядов:

Eksempel. Fire identiske punktladninger q er plassert ved toppunktene til et tetraeder med kant a (fig. 4.1). Finn interaksjonsenergien til ladningene til dette systemet.

Interaksjonsenergien til hvert par ladninger er den samme her og lik = q2/Ale0a. Det er seks slike interagerende par, som kan sees fra figuren, så samspillsenergien til alle punktladninger i dette systemet

B=6#,=6<72/4яе0а.

En annen tilnærming til å løse dette problemet er basert på bruk av formel (4.3). Potensialet f ved plasseringen av en av ladningene, på grunn av feltet til alle andre ladninger, er lik f = 3<7/4яе0а. Поэтому

Total interaksjonsenergi. Hvis ladningene fordeles kontinuerlig, får vi ved å utvide ladningssystemet til et sett med elementære ladninger dq = p dV og gå fra summering i (4.3) til integrasjon,

hvor f er potensialet som skapes av alle ladningene i systemet i et element med et volum på dV. Et lignende uttrykk kan skrives for fordeling av ladninger, for eksempel over en overflate; for dette er det tilstrekkelig i formel (4.4) å erstatte p med o og dV med dS.

Man kan feilaktig tro (og dette fører ofte til misforståelser) at uttrykk (4.4) bare er et modifisert uttrykk (4.3), som tilsvarer å erstatte ideen om punktladninger med ideen om en kontinuerlig distribuert ladning. Faktisk er det ikke slik - begge uttrykkene er forskjellige i innholdet. Opprinnelsen til denne forskjellen er i forskjellig betydning av potensialet φ som er inkludert i begge uttrykkene, som best illustreres av følgende eksempel.

La systemet bestå av to kuler med ladninger q, og q2 "Avstanden mellom kulene er mye større enn størrelsen deres, så ladningene ql og q2 kan betraktes som punktladninger. La oss finne energien W til dette systemet ved å bruke begge formlene.

I henhold til formel (4.3)

W="AUitPi +2> hvor, f[ er potensialet skapt av ladningen q2 i stedet

å finne en siktelse har en lignende betydning

og potensial f2.

I henhold til formel (4.4) må vi dele ladningen til hver kule i uendelig små elementer p AV og multiplisere hvert av dem med potensialet φ skapt ikke bare av ladningen til en annen ball, men også av elementene i ladningen til denne ball. Det er klart at resultatet vil bli helt annerledes, nemlig:

W=Wt + W2+Wt2, (4,5)

hvor Wt er energien til interaksjon med hverandre av elementene i ladningen til den første ballen; W2 - det samme, men for den andre ballen; Wi2 - energi av interaksjon av ladningselementer i den første ballen med ladningselementer i den andre ballen. Energiene W og W2 kalles selvenergiene til ladningene qx og q2, og W12 er energien til samspillet mellom ladningen og ladningen q2.

Dermed ser vi at beregningen av energien W ved formel (4.3) gir bare Wl2, og beregningen med formel (4.4) gir den totale energien til interaksjon: i tillegg til W(2, er det også selvenergier IF og W2. Å ignorere denne omstendigheten er ofte kilden til grove feil.

Vi kommer tilbake til denne problemstillingen i § 4.4, men nå får vi flere viktige resultater ved hjelp av formel (4.4).

Feltarbeid under dielektrisk polarisering.

Elektrisk feltenergi.

Som enhver materie har det elektriske feltet energi. Energi er en funksjon av tilstand, og feltets tilstand er gitt av intensiteten. Derfra følger det at energien til det elektriske feltet er en enkeltverdi funksjon av intensiteten. Siden er det nødvendig å introdusere konseptet energikonsentrasjon i feltet. Målingen av feltenergikonsentrasjonen er dens tetthet:

La oss finne et uttrykk for. For dette vurderer vi feltet til en flat kondensator, forutsatt at den er homogen overalt. Et elektrisk felt i en hvilken som helst kondensator oppstår under ladingen, som kan representeres som overføring av ladninger fra en plate til en annen (se figur). Det elementære arbeidet brukt på avgiftsoverføring er lik:

hvor a er hele verket:

som går for å øke feltenergien:

Gitt at (det var ikke noe elektrisk felt), for energien til det elektriske feltet til kondensatoren får vi:

I tilfellet med en flat kondensator:

siden, - volumet av kondensatoren, lik volumet av feltet. Dermed er energitettheten til det elektriske feltet:

Denne formelen er kun gyldig for et isotropisk dielektrikum.

Energitettheten til det elektriske feltet er proporsjonal med kvadratet på intensiteten. Selv om denne formelen er oppnådd for et enhetlig felt, er den sann for ethvert elektrisk felt. I det generelle tilfellet kan feltenergien beregnes med formelen:

Uttrykket inkluderer permittiviteten. Dette betyr at energitettheten i et dielektrikum er større enn i et vakuum. Dette skyldes det faktum at når et felt opprettes i et dielektrikum, utføres tilleggsarbeid knyttet til polariseringen av dielektrikumet. La oss erstatte verdien av den elektriske induksjonsvektoren i uttrykket for energitettheten:

Den første termen er relatert til energien til feltet i vakuum, den andre er relatert til arbeidet som er brukt på polariseringen av en enhetsvolum av dielektrikumet.

Det elementære arbeidet som brukes av feltet på inkrementet til polarisasjonsvektoren er lik.

Arbeidet med polarisering per volumenhet av et dielektrikum er:

fordi det var det vi ønsket å bevise.

Tenk på et system med to punktladninger (se figur) i henhold til prinsippet om superposisjon på et hvilket som helst punkt i rommet:

Elektrisk felt energitetthet

Det første og tredje begrepet er relatert til henholdsvis de elektriske feltene til ladninger, og det andre begrepet reflekterer den elektriske energien knyttet til samspillet mellom ladninger:

Ladningenes egenenergi er positiv, og interaksjonsenergien kan være både positiv og negativ.

I motsetning til en vektor, er ikke energien til et elektrisk felt en additiv mengde. Interaksjonsenergien kan representeres ved en enklere relasjon. For to punktladninger er interaksjonsenergien:

som kan representeres som summen:

hvor er potensialet til ladningsfeltet ved stedet for ladningen, og er potensialet til ladningsfeltet ved stedet for ladningen.

Ved å generalisere resultatet oppnådd til et system med et vilkårlig antall avgifter, får vi:

hvor er ladningen til systemet, er potensialet som skapes på stedet for ladningen, alle andre systemavgifter.

Hvis ladningene fordeles kontinuerlig med bulkdensitet, bør summen erstattes med en volumintegral:

hvor er potensialet som skapes av alle ladninger i systemet i volumelementet. Det resulterende uttrykket samsvarer total elektrisk energi systemer.

Innenfor elektrostatikk er det umulig å svare på spørsmålet om hvor energien til en kondensator er konsentrert. Feltene og ladningene som dannet dem kan ikke eksistere separat. Ikke skille dem. Imidlertid kan variable felt eksistere uavhengig av ladningene som eksiterer dem (stråling fra solen, radiobølger, ...), og de bærer energi. Disse fakta får oss til å erkjenne det energibæreren er det elektrostatiske feltet .

Når elektriske ladninger flyttes, gjør kreftene til Coulomb-interaksjonen et visst arbeid d MEN. Arbeidet som gjøres av systemet bestemmes av tapet av interaksjonsenergi -d W kostnader

(5.5.1)

Energi av interaksjon av to punktladninger q 1 og q 2 på avstand r 12, numerisk lik arbeidet med å flytte ladningen q 1 i feltet for en stasjonær ladning q 2 fra punkt med potensial til punkt med potensial:

(5.5.2)

Det er praktisk å skrive interaksjonsenergien til to ladninger i en symmetrisk form

(5.5.3)

For et system fra n punktladninger (fig. 5.14) på grunn av prinsippet om superposisjon for potensialet, ved lokaliseringspunktet k ladningen kan vi skrive:

Her φ k , Jeg- potensiell Jeg-te lading på stedet k-te anklage. Potensialet φ er ekskludert i summen k , k, dvs. virkningen av ladningen på seg selv, som er lik uendelig for en punktladning, tas ikke i betraktning.

Deretter den gjensidige energien til systemet n kostnader er lik:

(5.5.4)

Denne formelen er bare gyldig hvis avstanden mellom ladningene merkbart overstiger størrelsen på selve ladningene.

Beregn energien til en ladet kondensator. Kondensatoren består av to opprinnelig uladede plater. Vi vil gradvis ta bort ladningen d fra bunnplaten q og overfør den til toppplaten (fig. 5.15).

Som et resultat vil det oppstå en potensiell forskjell mellom platene. Ved overføring av hver del av ladningen utføres elementært arbeid.

Ved å bruke definisjonen av kapasitans får vi

Det totale arbeidet som ble brukt på å øke ladningen til kondensatorplatene fra 0 til q, er lik:

Denne energien kan også skrives som

Tenk på et system med to punktladninger (se figur) i henhold til prinsippet om superposisjon på et hvilket som helst punkt i rommet:

Elektrisk felt energitetthet

Det første og tredje leddet er relatert til ladningenes elektriske felt og henholdsvis, og det andre begrepet gjenspeiler den elektriske energien knyttet til samspillet mellom ladninger:

Selv-energi av ladninger positiv verdi
, og interaksjonsenergien kan være både positiv og negativ
.

I motsetning til vektoren energien til det elektriske feltet er ikke en additiv mengde. Interaksjonsenergien kan representeres ved en enklere relasjon. For to punktladninger er interaksjonsenergien:

som kan representeres som summen:

hvor
- ladefeltpotensial på stedet for ladningen , a
- ladefeltpotensial på stedet for ladningen .

Ved å generalisere resultatet oppnådd til et system med et vilkårlig antall avgifter, får vi:

hvor -
systemlading, - potensiale skapt på stedet
lade, alle andre systemavgifter.

Hvis ladningene fordeles kontinuerlig med bulktetthet , skal summen erstattes med en volumintegral:

hvor - potensialet som skapes av alle ladningene i systemet i volumelementet
. Det resulterende uttrykket samsvarer total elektrisk energi systemer.

Eksempler.

En ladet metallkule i et homogent dielektrikum.

I dette eksemplet skal vi finne ut hvorfor de elektriske kreftene i et dielektrikum er mindre enn i vakuum og beregne den elektriske energien til en slik ball.

H feltstyrken i dielektrikumet er mindre enn feltstyrken i vakuum inn en gang
.

Dette skyldes polarisasjonen av dielektrikumet og utseendet til en bundet ladning nær overflaten av lederen. motsatt tegn på ladningen til konduktøren (se bilde). Relaterte kostnader skjerm feltet for gratis kostnader , redusere den overalt. Den elektriske feltstyrken i dielektrikumet er lik summen
, hvor
- feltstyrke til gratis kostnader,
- feltstyrke til bundne ladninger. Gitt at
, Vi finner:

→
→

→
→
→

Ved å dele på overflaten til lederen finner vi forholdet mellom overflatetettheten til bundne ladninger
og overflatetetthet av gratis ladninger :

Det resulterende forholdet er egnet for en leder av enhver konfigurasjon i et homogent dielektrikum.

La oss finne energien til det elektriske feltet til ballen i dielektrikumet:

Her er det tatt hensyn til at
, og det elementære volumet, under hensyntagen til feltets sfæriske symmetri, er valgt i form av et sfærisk lag. er kapasiteten til ballen.