Главная→Медицина→Перечислить известные вам виды доказательств тождеств. Тождество

Перечислить известные вам виды доказательств тождеств. Тождество

Доказательство тождеств. В математике существует множество понятий. Одно из них тождество.

Тождеством называют равенство, которое выполняется при всех значениях переменных, которые в него входят.

Некоторые тождества мы уже знаем. Например, все формулы сокращенного умножения являются тождествами.

Доказать тождество – это значит установить, что для любого допустимого значение переменные его левая часть равна правой части.

В алгебре существует несколько различных способов доказательства тождеств.

Способы доказательства тождеств

левой части тождества. Если в итоге получим правую часть, тогда тождество считается доказанным.
Выполнить равносильные преобразования правой части тождества. Если в итоге получим левую часть, тогда тождество считается доказанным.
Выполнить равносильные преобразования левой и правой части тождества. Если в результате получим одинаковый результат, тогда тождество считается доказанным.
Из правой части тождества вычитаем левую часть.
Из левой части тождества вычитают правую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.

Следует так же помнить, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных.

Как видите способов достаточно много. Какой способ выбрать в данном конкретном случае, зависит от тождества, которое вам необходимо доказать. По мере того, как вы будете доказывать различные тождества, придет и опыт в выборе способа доказательства.

Рассмотрим несколько простых примеров

Пример 1.

Докажите тождество x*(a+b) + a*(b-x) = b*(a+x).

Решение.

Так как в правой части небольшое выражение, попытаемся преобразовать левую часть равенства.

x*(a+b) + a*(b-x) = x*a+x*b+a*b – a*x.

Приведем подобные слагаемые и вынесем общий множитель за скобку.

x*a+x*b+a*b – a*x = x*b+a*b = b*(a+x).

Получили что левая часть после преобразований, стала такой же как и правая часть. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Пример 2.

Докажите тождество a^2 + 7*a + 10 = (a+5)*(a+2).

Решение.

В данном примере можно поступить следующим способом. Раскроем скобки в правой части равенства.

(a+5)*(a+2) = (a^2) +5*a +2*a +10= a^2+7*a+10.

Видим, что после преобразований, правая часть равенства стала такой же как и левая часть равенства. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Доказательство тождеств. В математике существует множество понятий. Одно из них тождество.

Тождеством называют равенство, которое выполняется при всех значениях переменных, которые в него входят.

Некоторые тождества мы уже знаем. Например, все формулы сокращенного умножения являются тождествами.

Доказать тождество - это значит установить, что для любого допустимого значение переменные его левая часть равна правой части.

В алгебре существует несколько различных способов доказательства тождеств.

Способы доказательства тождеств

левой части тождества. Если в итоге получим правую часть, тогда тождество считается доказанным.
Выполнить равносильные преобразования правой части тождества. Если в итоге получим левую часть, тогда тождество считается доказанным.
Выполнить равносильные преобразования левой и правой части тождества. Если в результате получим одинаковый результат, тогда тождество считается доказанным.
Из правой части тождества вычитаем левую часть.
Из левой части тождества вычитают правую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.

Следует так же помнить, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных.

Рассмотрим несколько простых примеров

Пример 1.

Докажите тождество x*(a+b) + a*(b-x) = b*(a+x).

Решение.

Так как в правой части небольшое выражение, попытаемся преобразовать левую часть равенства.

Имеем,

x*(a+b) + a*(b-x) = x*a+x*b+a*b - a*x.

Приведем подобные слагаемые и вынесем общий множитель за скобку.

x*a+x*b+a*b - a*x = x*b+a*b = b*(a+x).

Пример 2.

Докажите тождество a^2 + 7*a + 10 = (a+5)*(a+2).

Решение.

В данном примере можно поступить следующим способом. Раскроем скобки в правой части равенства.

Получим,

(a+5)*(a+2) = (a^2) +5*a +2*a +10= a^2+7*a+10.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

Повторить определения тождества и тождественно равных выражений.
Ввести понятие тождественного преобразования выражений.
Развивать у учащихся навыки доказательства тождеств методом тождественного преобразования выражений.
Воспитывать коммуникативную культуру учащихся.

Ход урока

Перед началом урока учащиеся класса разбиваются на шесть учебных групп смешанного состава.

I

Учитель : Здравствуйте, ребята, я предлагаю учебный кабинет превратить на время в научно-исследовательскую лабораторию , а нам с вами в ученых-магистров математических наук .

Но каждый, уважающий себя ученый, постоянно решает какую-нибудь очень важную проблему, вот и нам, прежде всего, предстоит узнать: над какой проблемой мы будем сегодня работать?

Для этого нам нужно решить две задачи: (Слайд 1)

Разложите на множители выражение 4х – 8ху. (После выполнения задания на слайде появляется слово «Доказательство»)
Представьте выражение -5у(у – 2) в виде многочлена. (После выполнения задания на слайде появляется слово «Тождеств»)

Учитель : Работать сегодня мы будем над «Доказательством тождеств», а девизом нашей работы я предлагаю взять вот эти замечательные слова: (Слайд 2)

Пусть каждый день и каждый час
Нам новое добудет,
Пусть добрым будет ум у нас,
А сердце умным будет!

II

Учитель : Господа ученые, прежде чем решать поставленную задачу, нам необходимо укрепить свою теоретическую базу, ведь понятие тождества вам уже знакомо. И поэтому в рубрике (Слайд 3) «Повторение – мать учения» я предлагаю вам провести следующую работу:

В каждой научной группе находятся формулировки трех понятий на карточке 1, вы должны среди них найти два определения: 1) Определение тождества, 2) Определение тождественно равных выражений.

(Учащиеся в течение 2-3 минут изучают эти определения, спрашиваются представители тех групп, которые быстрее всех справились с заданием, остальные участники других групп показывают согласие или несогласие с помощью сигнальных карточек зеленого и красного цветов)

Карточка 1

После того как учащиеся дают верное определение, оно высвечивается на экране.

Учитель : Хорошо, а сейчас проверим себя. На экране будут появляться равенства, если это равенство будет являться тождеством, то я предлагаю вам встать, если же – нет, то вы продолжаете сидеть: (Слайд 4)

- (а – в) = - а + в
а (в + с) = ав - ас
а – (в + с) = а – в + с
(а + в) – с = а – с + в
- (а + в) = - в - а

III

Учитель : Хорошо, а сейчас пришла пора из теоретиков нам превращаться в ученых- практиков, но для этого нам нужно узнать, что нужно использовать, чтобы доказать тождество , и здесь нам не обойтись без научной литературы, ответ на этот вопрос мы найдем на странице … вашего учебника. Учащиеся находят в учебнике ответ: «Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений» . Согласие или несогласие участники остальных групп показывают специальными сигналами, о которых говорилось выше. (Слайд 5)

Учитель : Молодцы, но теперь возникает следующий вопрос, а что такое тождественное преобразование выражений ? Ответ можно найти на карточке 1 , это оставшееся третье определение.

«Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения» (учитель предлагает ответить на этот вопрос одного из участников любой группы) (Слайд 6)

Вот сейчас мы уже «созрели» для практической работы, и я попрошу вас обратить свое внимание на карточку 2 . Задание: «Докажите тождество», каждая группа ученых получила пример, который она должна решить самостоятельно, если будут возникать затруднения на помощь придут карточки- консультанты.

Карточка 2

Теперь нам необходимо защитить свои работы. (Презентация выполненных работ у доски, выступают желающие участники групп)

Учитель : Замечательно, а теперь уважаемые коллеги пора подводить итоги, что же нам необходимо сделать, чтобы доказать, что равенство является тождеством? Предполагаемые ответы учащихся: (Слайд 7)

Выписать левую часть равенства, ее преобразовать и убедиться, что она равна правой.
или
Выписать правую часть равенства, ее преобразовать и убедиться, что она равна левой.
или
Преобразовать и левую и правую часть равенства и убедиться в том, что они равны одному и тому же выражению.

Учитель : Какой вывод можно сделать в том случае, когда все то, о чем мы только что сказали, не будет выполняться? Предполагаемый ответ учащихся: Равенство не будет являться тождеством.

IV

Учитель : Чтобы полученные знания были прочными, эту работу мы продолжим дома:

Домашнее задание: п. 30, 773, * Составить равенство, которое будет являться тождеством.

V

Учитель : А сейчас настал час для творчества: В стихотворении, которое вы видите, вставьте пропущенные слова: (Слайды 8-9)

Равенства всякие, братцы, бывают,
И каждый об этом, конечно же, знает.
Есть – с переменными, есть – (числовые),
Сложные очень и очень (простые),
Но есть среди равенств особенный класс,
О нем поведем свой рассказ мы сейчас.
(Тождеством) равенство это зовется.
Но это еще доказать нам придется.
Для этого нужно нам только лишь взять
И равенство это (преобразовать)
Несложно, конечно, нам будет узнать
Какую придется нам часть изменять,
А, может, придется нам обе менять,
По равенства виду нетрудно (понять)
Ура! Удалось применить наши знания,
Окончено равенства преобразование.
И смело уже говорим мы ответ:
Так (тождество) это, или все-таки нет!

ЛЕКЦИЯ №3 Доказательство тождеств

Цель: 1. Повторить определения тождества и тождественно равных выражений.

2.Ввести понятие тождественного преобразования выражений.

3. Умножение многочлена на многочлен.

4. Разложение многочлена на множители способом группировки.

Пусть каждый день и каждый час

Нам новое добудет,

Пусть добрым будет ум у нас,

А сердце умным будет!

В математике существует множество понятий. Одно из них тождество.

Тождеством называют равенство, которое выполняется при всех значениях переменных, которые в него входят. Некоторые тождества мы уже знаем.

Например, все формулы сокращенного умножения являются тождествами.

Формулы сокращенного умножения

1. (a ± b )2 = a 2 ± 2ab + b 2,

2. (a ± b )3 = a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b 3,

3. a 2 - b 2 = (a - b )(a + b ),

4. a 3 ± b 3 = (a ± b )(a 2 ab + b 2).

В алгебре существует несколько различных способов доказательства тождеств.

Способы доказательства тождеств

левой части тождества.

правой части тождества.

левой и правой части тождества.

Из правой части тождества вычитаем левую часть.

Из левой части тождества вычитают правую часть.

Следует так же помнить, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных.

Тождество - это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, т. е. справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. Доказать тождество - значит установить, что при всех допустимых значениях переменных его левая и правая части равны.
Способы доказывания тождества:
1. Выполняют преобразования левой части и получают в итоге правую часть.
2. Выполняют преобразования правой части и в итоге получают левую часть.
3. По отдельности преобразуют правую и левую части и получают и в первом и во втором случае одно и то же выражение.
4. Составляют разность левой и правой части и в результате её преобразований получают нуль.
Рассмотрим несколько простых примеров

Пример 1. Докажите тождество x·(a+b) + a·(b-x) = b·(a+x).

Решение.

Так как в правой части небольшое выражение, попытаемся преобразовать левую часть равенства.

x·(a+b) + a·(b-x) = x·a +x·b + a·b – a·x.

Приведем подобные слагаемые и вынесем общий множитель за скобку.

x·a + x·b + a·b – a·x = x·b + a·b = b·(a + x).

Пример 2. Докажите тождество: a ² + 7· a + 10 = (a +5)·(a +2).

Решение:

В данном примере можно поступить следующим способом. Раскроем скобки в правой части равенства.

(a+5)·(a+2) = (a²) + 5·a +2·a +10 = a²+7·a + 10.

« Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения»

Выяснить какое равенство является тождеством:

1. - (а – в) = - а – в;

2. 2 · (х + 4) = 2х – 4;

3. (х – 5) · (-3) = - 3х + 15.

4. рху (- р2 х2 у) = - р3 х3 у3.

«Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений»

Равенство верное при любых значениях переменных, называют тождеством. Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество , используют тождественные преобразования выражений.
Докажем тождество:
xy - 3y - 5x + 16 = (x - 3)(y - 5) + 1 Преобразуем левую часть этого равенства:
xy - 3y - 5x + 16 = (xy - 3y) + (- 5x + 15) +1 = y(x - 3) - 5(x -3) +1 = (y - 5)(x - 3) +1 В результате тождественного преобразования левой части многочлена мы получили его правую часть и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.
Для доказательства тождества преобразуют его левую часть в правую или его правую часть в левую, или показывают, что левая и правая части исходного равенства тождественно равны одному и тому же выражению.

Умножение многочлена на многочлен

Умножим многочлен a + b на многочлен c + d . Составим произведение этих многочленов:
(a+b)(c+d) .
Обозначим двучлен a + b буквой x и преобразуем полученное произведение по правилу умножения одночлена на многочлен:
(a+b)(c+d) = x(c+d) = xc + xd.
В выражение xc + xd. подставим вместо x многочлен a+b и снова воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:
xc + xd = (a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd.
Итак: (a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd .
Произведение многочленов a + b и c + d мы представили в виде многочлена ac + bc + ad + bd . Этот многочлен является суммой всех одночленов, получающихся при умножении каждого члена многочлена a + b на каждый член многочлена c + d .
Вывод : произведение любых двух многочленов можно представить в виде многочлена .
Правило : чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить .
Заметим, что при умножении многочлена, содержащего m членов на многочлен, содержащий n членов в произведении до приведения подобных членов должно получиться mn членов. Этим можно воспользоваться для контроля.

Разложение многочлена на множители способом группировки:

Ранее мы познакомились с разложением многочлена на множители путем вынесения общего множителя за скобки. Иногда удается разложить многочлен на множители, используя другой способ - группировку его членов .
Разложим на множители многочлен
ab - 2b + 3a - 6 Сгруппируем его так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель и вынесем этот множитель за скобки:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab - 2b) + (3a - 6) = b(a - 2) + 3(a - 2) Каждое слагаемое получившегося выражения имеет общий множитель (a - 2). Вынесем этот общий множитель за скобки:
b(a - 2) + 3(a - 2) = (b +3)(a - 2) В итоге мы разложили исходный многочлен на множители:
ab - 2b + 3a - 6 = (b +3)(a - 2) Способ, который мы применили для разложения многочлена на множители называют способом группировки .
Разложение многочлена ab - 2b + 3a - 6 на множители можно выполнить, группируя его члены иначе:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab + 3a) + (- 2b - 6) = a(b + 3) -2(b + 3) = (a - 2)(b + 3)

Повторить:

1. Способы доказательства тождеств.

2. Что называют тождественным преобразованием выражения.

3. Умножение многочлена на многочлен.

4. Разложение многочлена на множители способом группировки

Обучающая цель:

повторить определения уравнения, тождества;

научиться различать понятия уравнения и тождества;

выявить способы доказательства тождеств;

повторить способы приведения одночлена к стандартному виду, сложения многочленов, умножения одночлена на многочлен при доказательстве тождеств.

Развивающая цель:

развивать грамотную математическую речь учащихся (обогащать и усложнять словарный запас при использовании специальных математических терминов),

развивать мышление: умения сравнивать, анализировать, проводить аналогии, прогнозировать, делать выводы (при выборе способов доказательства тождеств);

развивать учебно-познавательную компетенцию учащихся.

Воспитательная цель:

развивать умение работать в группе, координировать свою деятельность с другими участниками учебного процесса;

воспитывать толерантность.

Тип урока: комплексное применение знаний.

Этапы урока: подготовительный, применение знаний, итог.

Граница знания - незнания:

могут применять операции приведения одночлена к стандартному виду;

сложения многочленов, умножения многочлена на многочлен.

Различать понятия уравнения и тождества;

осуществлять доказательство тождеств;

рационально выбирать и применять способы доказательства тождеств.

Фронтальная работа

Словесный

Наглядный

Применение знаний (обеспечение усвоения новых знаний и способов действий на уровне применения в измененной учебной ситуации)

На основе преобразований левой и правой части данного

математического равенства, выявить способы доказательства тождеств;

Выявить рациональный способ из предложенных и отработать подбор рационального решения по заданному условию тождеств

Групповая работа

Самостоятельная работа

Поисковый

Практический

Итог (анализ и оценка успешности достижения цели)

Подведение итогов работы на уроке путем выполнения индивидуальной работы, где предлагается выбрать из представленных равенств тождество и доказать его любым из предложенных способов (желательно рациональным);

Затем учащиеся производят самооценку своей работы на уроке по заданным (от начала занятия) критериям

Фронтальная

Словесный

Конспект урока (кратко):

1. Этап (подготовительный)

Рассмотрите математическую запись: (фронтальная работа)

Учащиеся 7 класса, как правило, считают, что это уравнение, и, решая его, получают линейное уравнение вида: 0 х = 0, верное при любых х.

Затем, учитель показывает работу другого класса, и дети сталкиваются с противоречием – в работах другого класса, учащиеся доказывают, что это тождество.

Вывод: следует обратить внимание на тот факт, что одно и то же равенство может рассматриваться как тождество и как уравнение. Это зависит от условия к заданной работе: если требуется установить при каком значении переменной имеет место равенство, то это - уравнение. А если требуется доказать, что равенство имеет место при любых значениях переменных - тождество.

2. Этап (применение)

Выявление способов доказательства тождеств: (групповая работа)

Записано выражение:

Практическое задание в группах по выявлению способов доказательства тождеств:

Соблюдайте правила работы в группах (они напечатаны на табличках, выставленных учителем на рабочих местах учащихся)

На ватмане, в совместном труде, выполните некоторые преобразования по определенной технологии, указанной в задании группе и докажите, что заданное выражение не зависит от значений переменных, а значит, является тождеством;

Выступите с разъяснениями проделанной работы и сделайте вывод: каков данный метод доказательства тождеств;

Задание 1 группе:

Перенесите правую часть равенства в левую. Докажите, что данное выражение не зависит от значения переменных.

Задание 2 группе:

Преобразуйте левую часть равенства. Докажите, что она равна правой, а значит данное выражение не зависит от значения переменных.

Задание 3 группе:

Преобразуйте одновременно левую и правую части равенства. Докажите, что данное равенство не зависит от значения переменных.

При рассмотрении выполненной работы ребят по доказательству тождества, удобно результаты примененных способов изображать в виде схем на отдельных листах бумаги, с указателем номера, что бы в последствии, использовать эти схемы не только на данном, но и на других уроках алгебры.

3. Этап (итог)

а) Тождества для выбора рационального решения: (фронтальная работа)