Pirmskaitļi un saliktie skaitļi. Skaitļa faktorēšana Skaitļa faktorēšana 6

Šis tiešsaistes kalkulators ir paredzēts funkcijas faktorizēšanai.

Piemēram, faktorizēt: x 2 /3-3x+12 . Rakstīsim kā x^2/3-3*x+12 . Varat arī izmantot šo pakalpojumu, kurā visi aprēķini tiek saglabāti Word formātā.

Piemēram, sadaliet terminos. Rakstīsim kā (1-x^2)/(x^3+x) . Lai skatītu risinājuma norisi, noklikšķiniet uz Rādīt darbības . Ja jums ir nepieciešams iegūt rezultātu Word formātā, izmantojiet šo pakalpojumu.

Piezīme: skaitli "pi" (π) raksta kā pi ; kvadrātsakne kā sqrt , piemēram, sqrt(3) , tg tangenss tiek uzrakstīts kā tan . Atbildi skatiet sadaļā Alternatīva.

1. Ja ir dota vienkārša izteiksme, piemēram, 8*d+12*c*d , tad izteiksmes faktorēšana nozīmē izteiksmes faktorēšanu. Lai to izdarītu, jums ir jāatrod kopīgi faktori. Mēs rakstām šo izteiksmi šādi: 4*d*(2+3*c) .
2. Izsakiet reizinājumu kā divus binomiālus: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Šeit jau jāatrod vairāki kopīgi faktori: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Izņemam (x+7z) un iegūstam: (x+7z)(x + 3y) .

skatiet arī Polinomu dalīšana ar stūri (tiek parādīti visi dalīšanas ar kolonnu soļi)

Noderīgi, apgūstot faktorizācijas noteikumus saīsinātās reizināšanas formulas, ar kuru būs skaidrs, kā atvērt iekavas ar kvadrātu:

1. (a+b) 2 = (a+b) (a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b) (a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2–b 2
4. a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 -ab + b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b) (a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b) (a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Faktoringa metodes

1. Izmantojot saīsinātās reizināšanas formulas.
2. Meklējiet kopīgu faktoru.

Katram dabiskajam skaitlim, izņemot vienu, ir divi vai vairāki dalītāji. Piemēram, skaitlis 7 dalās tikai ar 1 un 7 bez atlikuma, tas ir, tam ir divi dalītāji. Un skaitlim 8 ir dalītāji 1, 2, 4, 8, tas ir, uzreiz 4 dalītāji.

Kāda ir atšķirība starp pirmskaitļiem un saliktajiem skaitļiem

Skaitļus, kuriem ir vairāk nekā divi faktori, sauc par saliktiem skaitļiem. Skaitļus, kuriem ir tikai divi dalītāji, viens un pats skaitlis, sauc par pirmskaitļiem.

Skaitlim 1 ir tikai viens dalījums, proti, pats skaitlis. Vienība neattiecas uz pirmskaitļiem vai saliktiem skaitļiem.

• Piemēram, skaitlis 7 ir galvenais un skaitlis 8 ir salikts.

Pirmie 10 pirmskaitļi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Skaitlis 2 ir vienīgais pāra pirmskaitlis, visi pārējie pirmskaitļi nepāra.

Skaitlis 78 ir salikts, jo papildus 1 un pašam tas dalās arī ar 2. Dalot ar 2, iegūstam 39. Tas ir, 78 = 2 * 39. Šādos gadījumos tiek uzskatīts, ka skaitlis ir aprēķināts ar 2 un 39.

Jebkuru saliktu skaitli var sadalīt divos faktoros, no kuriem katrs ir lielāks par 1. Ar pirmskaitli šāds triks nedarbosies. Tā tas notiek.

Skaitļa sadalīšana pirmfaktoros

Kā minēts iepriekš, jebkuru saliktu skaitli var sadalīt divos faktoros. Ņemiet, piemēram, skaitli 210. Šo skaitli var sadalīt divos faktoros 21 un 10. Taču arī skaitļi 21 un 10 ir salikti, sadalīsim tos divos faktoros. Mēs iegūstam 10 = 2 * 5, 21 = 3 * 7. Un rezultātā skaitlis 210 jau ir sadalījies 4 faktoros: 2,3,5,7. Šie skaitļi jau ir pirmskaitļi, un tos nevar sadalīt. Tas ir, mēs sadalījām skaitli 210 primārajos faktoros.

Saliktos skaitļus sadalot pirmfaktoros, tos parasti raksta augošā secībā.

Jāatceras, ka jebkuru saliktu skaitli var sadalīt primārajos faktoros un turklāt unikālā veidā līdz permutācijai.

• Parasti, sadalot skaitli pirmfaktoros, izmanto dalāmības zīmes.

Sadalīsim skaitli 378 pirmfaktoros

Mēs rakstīsim ciparus, atdalot tos ar vertikālu joslu. Skaitlis 378 dalās ar 2, jo beidzas ar 8. Dalot iegūstam skaitli 189. Skaitļa 189 ciparu summa dalās ar 3, tas nozīmē, ka pats skaitlis 189 dalās ar 3. Kā Rezultātā mēs iegūstam 63.

Skaitlis 63 arī dalās ar 3, pamatojoties uz dalāmību. Iegūstam 21, skaitli 21 atkal var dalīt ar 3, iegūstam 7. Septiņi dalās tikai ar sevi, iegūstam vienu. Tas pabeidz sadalīšanu. Pa labi aiz rindas mēs saņēmām primāros faktorus, kuros skaitlis 378 ir sadalīts.

378|2
189|3
63|3
21|3

Ko nozīmē faktorizēšana? Kā to izdarīt? Ko var uzzināt, sadalot skaitli galvenajos faktoros? Atbildes uz šiem jautājumiem ir ilustrētas ar konkrētiem piemēriem.

Definīcijas:

Pirmskaitlis ir skaitlis, kuram ir tieši divi atšķirīgi dalītāji.

Salikts skaitlis ir skaitlis, kuram ir vairāk nekā divi dalītāji.

Faktorizēt naturālu skaitli nozīmē attēlot to kā naturālu skaitļu reizinājumu.

Iekļaut naturālu skaitli pirmskaitļos nozīmē attēlot to kā pirmskaitļu reizinājumu.

Piezīmes:

• Pirmskaitļa izvērsumā viens no faktoriem ir vienāds ar vienu, bet otrs ir vienāds ar šo skaitli.
• Nav jēgas runāt par vienotības sadalīšanos faktoros.
• Saliktu skaitli var sadalīt faktoros, no kuriem katrs atšķiras no 1.

Sadalot lielus skaitļus galvenajos faktoros, tiek izmantots kolonnas ieraksts:

	Mazākais pirmskaitlis, ar kuru 216 dalās, ir 2. Sadaliet 216 ar 2. Mēs iegūstam 108.
	Iegūtais skaitlis 108 dalās ar 2. Veiksim sadalīšanu. Rezultātā iegūstam 54.
	Saskaņā ar dalāmības ar 2 testu skaitlis 54 dalās ar 2. Pēc dalīšanas mēs iegūstam 27.
	Skaitlis 27 beidzas ar nepāra skaitli 7. Tas Nedalās ar 2. Nākamais pirmskaitlis ir 3. Sadaliet 27 ar 3. Iegūstam 9. Mazākais pirmskaitlis Skaitlis, ar kuru 9 dalās, ir 3. Trīs pats par sevi ir pirmskaitlis, kas dalās ar sevi un ar vienu. Sadalīsim 3 ar sevi. Rezultātā mēs saņēmām 1.

• Skaitlis dalās tikai ar tiem pirmskaitļiem, kas ir tā izplešanās daļa.
• Skaitlis dalās tikai ar tiem saliktajiem skaitļiem, kuru sadalīšana pirmfaktoros tajā ir pilnībā ietverta.

Apsveriet piemērus:

Atrodiet skaitļa a dalīšanas ar skaitli b koeficientu, ja šos skaitļus sadala pirmfaktoros šādi a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Bibliogrāfija

1. Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.g.
2. Merzļaks A.G., Polonskis V.V., Jakirs M.S. Matemātika 6. klase. - ģimnāzija. 2006. gads.
3. Depmans I.Ya., Viļenkins N.Ya. Aiz matemātikas mācību grāmatas lappusēm. - M.: Apgaismība, 1989. gads.
4. Rurukins A.N., Čaikovskis I.V. Uzdevumi matemātikas kursam 5.-6.klasei. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukins A.N., Sočilovs S.V., Čaikovskis K.G. Matemātika 5.-6. Rokasgrāmata MEPhI neklātienes skolas 6. klases skolēniem. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Ševrins L.N., Geins A.G., Korjakovs I.O., Volkovs M.V. Matemātika: Sarunu biedru mācību grāmata 5.-6.klasei vidusskola. - M .: Izglītība, matemātikas skolotāju bibliotēka, 1989.

1. Interneta portāls Matematika-na.ru ().
2. Interneta portāls Math-portal.ru ().

Mājasdarbs

1. Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātika 6. - M.: Mnemozina, 2012. Nr.127, Nr.129, Nr.141.
2. Citi uzdevumi: Nr.133, Nr.144.

Viss sākas ar ģeometrisko progresiju. Pirmajā lekcijā par sērijām (skat. sadaļu 18.1. Pamatdefinīcijas) esam pierādījuši, ka šī funkcija ir sērijas summa , un sērija saplūst ar funkciju pie
. Tātad,

.

Pierakstīsim vairākas šīs sērijas šķirnes. Nomaiņa X uz - X , saņemam

nomainot X uz
mēs saņemam

utt.; visu šo rindu konverģences reģions ir vienāds:
.

2.
.

Visi šīs funkcijas atvasinājumi punktā X =0 ir vienādi
, tā seriāls izskatās

.

Šīs sērijas konverģences apgabals ir visa skaitliskā ass (sadaļas 6. piemērs 18.2.4.3. Pakāpju rindas konverģences rādiuss, konverģences intervāls un konverģences apgabals), tāpēc
plkst
. Rezultātā Teilora formulas atlikušais termins
. Tātad sērija saplūst ar
jebkurā brīdī X .

3.
.

Šī sērija pilnībā saplūst

, un tā summa patiešām ir vienāda ar
. Atlikušajam Teilora formulas terminam ir forma
, kur
vai
ir ierobežota funkcija, un
(tas ir iepriekšējās paplašināšanas parastais termins).

4.
.

Šo paplašinājumu, tāpat kā iepriekšējos, var iegūt, secīgi aprēķinot atvasinājumus, bet mēs rīkosimies citādi. Atšķirsim iepriekšējās sērijas terminus pēc termina:

Konverģence uz funkciju uz visas ass izriet no teorēmas par pakāpju rindas diferenciāciju pēc termiņa.

5. Pierādiet pats, ka uz veselā skaitļa ass , .

6.
.

Šīs funkcijas sēriju sauc binominālās sērijas. Šeit mēs aprēķināsim atvasinājumus.

…Maklaurina sērijai ir forma

Mēs meklējam konverģences intervālu: tāpēc konverģences intervāls ir
. Mēs nepētīsim atlikušo termiņu un rindas uzvedību konverģences intervāla beigās; izrādās, ka kad
sērijas saplūst absolūti abos punktos
, plkst
sērijas nosacīti saplūst punktā
un atšķiras punktā
, plkst
atšķiras abos punktos.

7.
.

Šeit mēs izmantosim faktu, ka
. Kopš tā laika pēc integrācijas pa vienam periodam,

Šīs rindas konverģences reģions ir pusintervāls
, konverģence ar funkciju iekšējos punktos izriet no teorēmas par pakāpes rindas integrāciju pa termiņam punktā X =1 — gan no funkcijas, gan pakāpju rindas summas nepārtrauktības visos punktos, patvaļīgi tuvu X =1 kreisajā pusē. Ņemiet vērā, ka ņemot X =1, mēs atradīsim sērijas summu.

8. Integrējot sērijas terminu pēc termina, mēs iegūstam funkcijas paplašinājumu
. Veiciet visus aprēķinus pats, uzrakstiet konverģences apgabalu.

9. Izrakstīsim funkcijas paplašinājumu
pēc binominālās sērijas formulas ar
: . Saucējs
attēlots kā , dubultais faktoriāls
ir visu naturālo skaitļu reizinājums ar tādu pašu paritāti kā , Nepārsniedz . Paplašinājums saplūst ar funkciju priekš
. Termiski integrējot to no 0 līdz X , mēs saņemam. Izrādās, ka šī sērija saplūst ar funkciju visā intervālā
; plkst X =1 mēs iegūstam vēl vienu skaistu skaitļa attēlojumu :
.

18.2.6.2. Sērijas funkciju paplašināšanas uzdevumu risināšana. Lielākā daļa problēmu, kurās elementāra funkcija ir jāpaplašina pakāpju virknē
, tiek atrisināts, izmantojot standarta paplašinājumus. Par laimi, jebkurai pamata elementārai funkcijai ir īpašība, kas ļauj to izdarīt. Apskatīsim dažus piemērus.

1. Sadaliet funkciju
pa grādiem
.

Risinājums. . Sērija saplūst plkst
.

2. Paplašiniet funkciju
pa grādiem
.

Risinājums.
. Konverģences apgabals:
.

3. Paplašiniet funkciju
pa grādiem
.

Risinājums. . Sērija saplūst plkst
.

4. Sadaliet funkciju
pa grādiem
.

Risinājums. . Sērija saplūst plkst
.

5. Sadaliet funkciju
pa grādiem
.

Risinājums. . Konverģences apgabals
.

6. Izvērsiet funkciju
pa grādiem
.

Risinājums. Otrā tipa vienkāršu racionālu daļu virknē izvērsumu iegūst, pa rindkopai diferencējot atbilstošos pirmā tipa frakciju paplašinājumus. Šajā piemērā. Turklāt, diferencējot pa terminiem, var iegūt funkciju paplašinājumus
,
utt.

7. Sadaliet funkciju
pa grādiem
.

Risinājums. Ja racionālā daļa nav vienkārša, tā vispirms tiek attēlota kā vienkāršu daļskaitļu summa:
, un pēc tam rīkojieties kā 5. piemērā: , kur
.

Protams, šāda pieeja nav piemērojama, piemēram, funkcijas dekompozīcijai pa grādiem X . Šeit, ja jums ir jāiegūst daži pirmie Teilora sērijas termini, vienkāršākais veids ir atrast vērtības attiecīgajā punktā. X =0 nepieciešamo pirmo atvasinājumu skaits.