Ģeometrisko modeļu klasifikācija pēc iekšējās reprezentācijas. Ģeometrisko modeļu veidi

Objekta ģeometriskais modelis tiek saprasts kā informācijas kopums, kas unikāli nosaka tā konfigurāciju un ģeometriskos parametrus.

Pašlaik ir divas pieejas automatizētai ģeometrisko modeļu izveidei, izmantojot datortehnoloģiju.

Pirmā pieeja, kas pārstāv tradicionālo grafisko attēlu veidošanas tehnoloģiju, ir balstīta uz divdimensiju ģeometriskā modeļa un datora kā elektroniskas rasēšanas dēļa faktiskā izmantošana, kas ļauj paātrināt objekta zīmēšanas procesu un uzlabot projekta dokumentācijas kvalitāti. Centrālo vietu ieņem zīmējums, kas kalpo kā līdzeklis produkta attēlošanai plaknē ortogonālu projekciju, skatu, griezumu un griezumu veidā un satur visu nepieciešamo informāciju produkta ražošanas tehnoloģiskā procesa izstrādei. Divdimensiju modelī izstrādājuma ģeometrija tiek attēlota datorā kā plakans objekts, kura katrs punkts tiek attēlots, izmantojot divas koordinātas: X un Y.

Galvenie trūkumi divdimensiju modeļu izmantošanai datorizētā projektēšanā ir acīmredzami:

Izveidotais objekta dizains ir garīgi jāattēlo atsevišķu zīmējuma elementu veidā (ortogonālās projekcijas, skati, griezumi un griezumi), kas ir sarežģīts process pat pieredzējušiem izstrādātājiem un bieži rada kļūdas produkta dizainā. struktūras;

Visi grafiskie attēli zīmējumā (ortogonālās projekcijas, skati, griezumi, griezumi) tiek veidoti neatkarīgi viens no otra un tāpēc nav saistīti asociatīvi, tas ir, katra dizaina objekta izmaiņa rada nepieciešamību veikt izmaiņas (rediģēt) katrā atbilstošajā zīmējuma grafiskais attēls, kas ir darbietilpīgs process un rada ievērojamu kļūdu skaitu, modificējot izstrādājumu dizainus;

Iegūto rasējumu izmantošanas neiespējamība, lai izveidotu objektu vadības mezglu datormodeļus no komponentiem (mezgliem, mezgliem un daļām);

Izstrādājumu montāžas vienību, to katalogu un to darbības rokasgrāmatu aksonometrisko attēlu izveides sarežģītība un augstā darbietilpība;

Ir neefektīvi izmantot divdimensiju modeļus turpmākajos (pēc produkta dizaina izveides) ražošanas cikla posmos.

Otrā pieeja dizaina objektu grafisko attēlu izstrādei ir balstīta uz izmantojot objektu trīsdimensiju ģeometriskos modeļus, kuras tiek izveidotas automatizētās trīsdimensiju modelēšanas sistēmās. Šādi datormodeļi ir vizuāls dizaina objektu attēlošanas veids, kas novērš uzskaitītos divdimensiju modelēšanas trūkumus un būtiski paplašina trīsdimensiju modeļu efektivitāti un pielietojuma apjomu dažādos produkta ražošanas cikla posmos.

Trīsdimensiju modeļi tiek izmantoti produktu modeļu datorizētai attēlošanai trīs dimensijās, tas ir, objekta ģeometrija tiek attēlota datorā, izmantojot trīs koordinātas: X, Y un Z. Tas ļauj pārbūvēt objektu modeļu aksonometriskās projekcijas dažādas lietotāju koordinātu sistēmas, kā arī iegūt savus aksonometriskos skatus ar jebkuru skatu punktu vai vizualizēt tos kā perspektīvu. Tāpēc 3D ģeometriskajiem modeļiem ir ievērojamas priekšrocības salīdzinājumā ar 2D modeļiem, un tie var ievērojami uzlabot dizaina efektivitāti.

Galvenās 3D modeļu priekšrocības:

Attēls ir skaidrs un dizainera viegli uztverams;

Daļu rasējumi tiek veidoti, izmantojot automātiski iegūtas objekta trīsdimensiju modeļa projekcijas, skatus, griezumus un griezumus, kas būtiski paaugstina rasējuma izstrādes produktivitāti;

Izmaiņas trīsdimensiju modelī automātiski rada atbilstošas ​​izmaiņas saistītajos objekta zīmējuma grafiskajos attēlos, kas ļauj ātri modificēt zīmējumus;

Ir iespējams izveidot virtuālo vadības mezglu un preču katalogu trīsdimensiju modeļus;

Trīsdimensiju modeļi tiek izmantoti, lai izveidotu tehnoloģisko procesu operatīvās skices tehnoloģisko iekārtu detaļu un veidojošo elementu izgatavošanai: presformas, veidnes, liešanas veidnes;

Izmantojot trīsdimensiju modeļus, iespējams simulēt izstrādājumu darbību, lai noteiktu to veiktspēju pirms ražošanas;

Trīsdimensiju modeļi tiek izmantoti automatizētās programmu sagatavošanas sistēmās daudzasu darbgaldu darba korpusu kustības trajektoriju automātiskai programmēšanai ar ciparu vadību;

Šīs priekšrocības ļauj efektīvi izmantot trīsdimensiju modeļus automatizētās produktu dzīves cikla pārvaldības sistēmās.

Ir trīs galvenie trīsdimensiju modeļu veidi:

- rāmis(vads), kurā attēlus attēlo virsotņu koordinātas un tās savienojošās malas;

- virspusēji, ko attēlo virsmas, kas ierobežo izveidoto objekta modeli;

- cietā stāvoklī, kas veidojas no cieto ķermeņu modeļiem;

- hibrīds .

Trīsdimensiju grafiskie modeļi satur informāciju par visiem objekta grafiskajiem primitīviem, kas atrodas trīsdimensiju telpā, tas ir, tiek izveidots trīsdimensiju objekta skaitlisks modelis, kura katram punktam ir trīs koordinātes (X, Y, Z) .

Rīsi. 10.1. Tetraedra stiepļu rāmja modeļa datu struktūra

Rāmja modeļu galvenie trūkumi:

Nav iespējams automātiski noņemt slēptās līnijas;

Iespēja neviennozīmīgi attēlot objektu;

Objekta sadaļā plaknes būs tikai objekta malu krustošanās punkti;

Tomēr karkasa modeļiem nav nepieciešams liels skaits aprēķinu, tas ir, liels ātrums un liela datora atmiņa. Tāpēc tie ir ekonomiski lietojami, veidojot datora attēlus.

Virsmas modeļos objekta tilpuma attēls tiek attēlots kā atsevišķu virsmu kopums.

Veidojot trīsdimensiju virsmu modeļus, tiek izmantotas analītiskās un splaina virsmas.

Analītiskās virsmas (plakne, cilindrs, konuss, sfēra utt.) apraksta ar matemātiskiem vienādojumiem.

Splainu virsmas attēlo punktu masīvi, starp kuriem, izmantojot matemātisko tuvinājumu, nosaka atlikušo punktu pozīcijas. Attēlā 10.2.b attēlā parādīts splainas virsmas piemērs, kas izveidots, pārvietojot plakanu skici (10.2.a att.) izvēlētajā virzienā.

Rīsi. 10.2. Splainas virsmas piemērs

Virsmas modeļu trūkumi:

Objekta sadaļā plaknes būs tikai objekta virsmu krustošanās līnijas ar griešanas plaknēm;

Nav iespējams veikt loģiskas objektu saskaitīšanas, atņemšanas un krustošanās darbības.

Virsmas modeļu priekšrocības:

Viennozīmīgs objekta attēlojums;

Spēja izveidot objektu modeļus ar sarežģītu virsmu konfigurāciju.

Trīsdimensiju virsmu modeļi ir atraduši plašu pielietojumu, veidojot sarežģītu objektu modeļus, kas sastāv no virsmām, kuru relatīvais biezums ir daudz mazāks par veidojamo objektu modeļu izmēru (kuģa korpuss, lidmašīnas fizelāža, automašīnas virsbūve utt.).

Turklāt virsmas modeļus izmanto, lai izveidotu hibrīdus cietvielu modeļus, izmantojot virsmas ierobežotus modeļus, ja cietā modeļa izveide ir ļoti sarežģīta vai neiespējama objekta sarežģīto virsmu dēļ.

Cietais modelis ir reāls objekta attēlojums, jo datora datu struktūra ietver visa objekta ķermeņa punktu koordinātas. Tas ļauj veikt loģiskas darbības ar objektiem: savienību, atņemšanu un krustojumu.

Ir divu veidu cietie modeļi: ar virsmu ierobežoti un tilpuma modeļi.

Virsmas ierobežotā cietā modelī objekta robežas tiek veidotas, izmantojot virsmas.

Tilpuma cietvielu modelim iekšējais skaitļošanas modelis attēlo visa cietā ķermeņa punktu koordinātas. Ir acīmredzams, ka objektu cietajiem modeļiem ir nepieciešams liels skaits aprēķinu, salīdzinot ar karkasa un virsmas modeļiem, jo ​​to transformāciju procesā ir jāpārrēķina visu objekta ķermeņa punktu koordinātas un saistībā ar to lielākas datoru skaitļošanas jauda (ātrums un RAM). Tomēr šiem modeļiem ir priekšrocības, kas ļauj tos efektīvi izmantot datorizētās projektēšanas procesā:

Iespējama slēpto līniju automātiska noņemšana;

Redzamība un objekta neviennozīmīga attēlojuma neiespējamība;

Sagriežot objektu pa plaknēm, tiks iegūtas sekcijas, kuras izmantos rasējumu veidošanai;

Ir iespējams veikt loģiskas objektu saskaitīšanas, atņemšanas un krustošanās operācijas.

Kā ilustrāciju 10.3. attēlā ir parādīti dažādu veidu trīsdimensiju paralēlskaldņu modeļu plaknes griezuma rezultāti: rāmis, virsma un cietviela.

Rīsi. 10.3. Dažādu veidu 3D modeļu plaknes sekcijas

Šajā ilustrācijā redzams, ka ar trīsdimensiju modeļu palīdzību ir iespējams iegūt sekcijas un griezumus, kas ir nepieciešams, veidojot izstrādājumu rasējumus.

Objekta kompleksa modeļa izveides princips ir balstīts uz trīs loģisku (Būla) darbību secīgu izpildi ar cietajiem modeļiem (10.4. att.): hibrīda modelis, kas ir ierobežotas virsmas modeļa un tilpuma cietā modeļa kombinācija, kas ļauj izmantot abu modeļu priekšrocības.

Cietvielu un hibrīdu modeļu priekšrocības ir galvenais iemesls to plašajai izmantošanai objektu trīsdimensiju modeļu izveidē, neskatoties uz nepieciešamību veikt lielu skaitu aprēķinu un attiecīgi izmantot datorus ar lielu atmiņu un lielu ātrumu. .

Risinot lielāko daļu problēmu datorprojektēšanas (CA) un ražošanas tehnoloģiskās sagatavošanas (TPP) jomā, ir nepieciešams dizaina objekta makets.

Zem objekta modelis saprast tā abstrakto attēlojumu, kas atbilst šim objektam atbilstības nosacījumam un ļauj to attēlot un apstrādāt, izmantojot datoru.

Tas. modelis– datu kopa, kas atspoguļo objekta īpašības, un attiecību kopa starp šiem datiem.

Atkarībā no tā izpildes veida PR objekta modelis var ietvert vairākus dažādus raksturlielumus un parametrus. Visbiežāk objektu modeļos ir dati par objekta formu, tā izmēriem, pielaidēm, izmantotajiem materiāliem, mehāniskajiem, elektriskajiem, termodinamiskajiem un citiem raksturlielumiem, apstrādes metodēm, izmaksām, kā arī mikroģeometriju (raupjums, formas novirzes, izmēri).

Modeļa apstrādei grafiskajās CAD sistēmās būtisks ir nevis viss informācijas apjoms par objektu, bet gan tā daļa, kas nosaka tā ģeometriju, t.i. objektu formas, izmēri, telpiskais izvietojums.

Tiek saukts objekta apraksts pēc tā ģeometrijas objekta ģeometriskais modelis.

Bet ģeometriskais modelis var ietvert arī kādu tehnoloģisku un palīginformāciju.

Informācija par objekta ģeometriskajiem raksturlielumiem tiek izmantota ne tikai grafiskā attēla iegūšanai, bet arī dažādu objekta raksturlielumu aprēķināšanai (piemēram, izmantojot FEM), programmu sagatavošanai CNC iekārtām.

Tradicionālajā projektēšanas procesā informācijas apmaiņa notiek, pamatojoties uz skicēm un darba rasējumiem, izmantojot normatīvo atsauci un tehnisko dokumentāciju. CAD šī apmaiņa tiek īstenota, pamatojoties uz objekta attēlojumu mašīnā.

Zem ģeometriskā modelēšana izprast visu daudzpakāpju procesu – no objekta verbāla (verbāla) apraksta atbilstoši konkrētajam uzdevumam līdz objekta iekšēja attēlojuma iegūšanai.

Ģeometriskās modelēšanas sistēmas var apstrādāt 2-dimensiju un 3-dimensiju objektus, kas savukārt var būt analītiski aprakstāmi un neaprakstāmi. Analītiski neaprakstāmi ģeometriski elementi, piemēram, līknes un brīvas formas virsmas, galvenokārt tiek izmantoti objektu aprakstā automobiļos, lidmašīnās un kuģu būvē.

Galvenie ĢM veidi

2D modeļi, kas ļauj izveidot un modificēt rasējumus, bija pirmie izmantotie modeļi. Šāda modelēšana bieži tiek izmantota līdz šai dienai, jo tas ir daudz lētāks (algoritmu un lietojuma ziņā) un ir diezgan piemērots rūpnieciskām organizācijām dažādu problēmu risināšanā.

Lielākajā daļā 2D ģeometriskās modelēšanas sistēmu objekta apraksts tiek veikts interaktīvi saskaņā ar algoritmiem, kas līdzīgi tradicionālās projektēšanas metodes algoritmiem. Šādu sistēmu paplašinājums ir tāds, ka kontūrām vai plakanām virsmām tiek piešķirts nemainīgs vai mainīgs attēla dziļums. Sistēmas, kas darbojas pēc šī principa, sauc 2,5 dimensiju. Tie ļauj iegūt objektu aksonometriskās projekcijas zīmējumos.

Bet 2-dimensiju attēlojums bieži vien nav ērts diezgan sarežģītiem produktiem. Ar tradicionālajām projektēšanas metodēm (bez CAD) tiek izmantoti rasējumi, kur preci var attēlot vairākos veidos. Ja produkts ir ļoti sarežģīts, to var uzrādīt modeļa formā. 3D modelis kalpo, lai izveidotu virtuālu produkta attēlojumu visās 3 dimensijās.

Ir 3 veidu 3D modeļi:

· rāmis (vads)

virsma (daudzstūra)

· tilpuma (cieto ķermeņu modeļi).

· Vēsturiski pirmais, kas parādījās stiepļu rāmju modeļi. Tie saglabā tikai virsotņu koordinātas ( x, y, z) un tās savienojošās malas.

Attēlā parādīts, kā kubu var uztvert neviennozīmīgi.

Jo Ir zināmas tikai malas un virsotnes, ir iespējamas dažādas viena modeļa interpretācijas. Stiepļu karkasa modelis ir vienkāršs, taču ar tā palīdzību telpā iespējams attēlot tikai ierobežotu detaļu klasi, kurā tuvinātās virsmas ir plaknes. Pamatojoties uz karkasa modeli, var iegūt projekcijas. Taču nav iespējams automātiski noņemt neredzamās līnijas un iegūt dažādas sadaļas.

· Virsmas modeļiļauj aprakstīt diezgan sarežģītas virsmas. Tāpēc, aprakstot sarežģītas formas un strādājot ar tām, tie bieži atbilst nozares (lidmašīnu, kuģu būves, automobiļu) vajadzībām.

Konstruējot virsmas modeli, tiek pieņemts, ka objektus ierobežo virsmas, kas tos atdala vidi. Arī objekta virsmu ierobežo kontūras, taču šīs kontūras ir 2 saskares vai krustojošu virsmu rezultāts. Objekta virsotnes var definēt ar virsmu krustpunktu, ar punktu kopu, kas apmierina kādu ģeometrisku īpašību, saskaņā ar kuru tiek noteikta kontūra.

Ir iespējami dažādi virsmu definīciju veidi (plaknes, apgriezienu virsmas, vadāmās virsmas). Sarežģītām virsmām tiek izmantoti dažādi virsmas aproksimācijas matemātiskie modeļi (Koons, Bezier, Hermite, B-splaina metodes). Tie ļauj mainīt virsmas raksturu, izmantojot parametrus, kuru nozīme ir pieejama lietotājam, kuram nav īpašas matemātikas apmācības.

Vispārējo virsmu tuvināšana ar plakanām virsmām dod priekšrocība:Šādu virsmu apstrādei tiek izmantotas vienkāršas matemātiskas metodes. Trūkums: objekta formas un izmēra saglabāšana ir atkarīga no tuvinājumos izmantoto seju skaita. > seju skaits,< отклонение от действительной формы объекта. Но с увеличением числа граней одновременно увеличивается и объем информации для внутримашинного представления. Вследствие этого увеличивается как время на работу с моделью объекта, так и объем памяти для хранения модели.

· Ja objekta modelim ir būtiski atšķirt punktus iekšējos un ārējos, tad mēs runājam par tilpuma modeļi. Lai iegūtu šādus modeļus, vispirms tiek noteiktas virsmas, kas ieskauj objektu, un pēc tam tās tiek saliktas apjomos.

Pašlaik ir zināmas šādas trīsdimensiju modeļu konstruēšanas metodes:

· IN robežu modeļi tilpums ir definēts kā virsmu kopums, kas to ierobežo.

Struktūru var sarežģīt, ieviešot tulkošanas, pagriešanas un mērogošanas darbības.

Priekšrocības:

¾ garantija pareiza modeļa ģenerēšanai,

¾ lieliskas formas modelēšanas iespējas,

¾ ātra un efektīva piekļuve ģeometriskajai informācijai (piemēram, zīmēšanai).

Trūkumi:

¾ lielāks sākotnējo datu apjoms nekā ar CSG metodi,

¾ modelēt loģiski< устойчива, чем при CSG, т.е. возможны противоречивые конструкции,

¾ formu variāciju konstruēšanas sarežģītība.

· IN CSG modeļi objektu nosaka elementāru tilpumu kombinācija, izmantojot ģeometriskas darbības (savienojums, krustojums, atšķirība).

Ar elementāru tilpumu saprot punktu kopumu telpā.

Šādas ģeometriskas struktūras modelis ir koka struktūra. Mezgli (ne-termināla virsotnes) ir darbības, un lapas ir elementāri apjomi.

Priekšrocības :

¾ konceptuālā vienkāršība,

¾ mazs atmiņas apjoms,

¾ dizaina konsekvence,

¾ iespēja sarežģīt modeli,

¾ daļu un sadaļu prezentācijas vienkāršība.

Trūkumi:

¾ ierobežojums Būla operācijām,

¾ skaitļošanas ietilpīgi algoritmi,

¾ nespēja izmantot parametriski aprakstītas virsmas,

¾ sarežģītība, strādājot ar funkcijām > 2. kārtas.

· Šūnu metode. Tiek uzskatīts, ka ierobežota telpas platība, kas aptver visu modelēto objektu, ir sadalīta liels skaitlis diskrētas kubiskās šūnas (parasti vienības lielums).

Modelēšanas sistēmai vienkārši jāreģistrē informācija par katra kuba kā objekta īpašumtiesībām.

Datu struktūru attēlo 3-dimensiju matrica, kurā katrs elements atbilst telpiskajai šūnai.

Priekšrocības:

¾ vienkāršība.

Trūkumi:

¾ liels atmiņas apjoms.

Lai novērstu šo trūkumu, tiek izmantots princips, ka šūnas tiek sadalītas apakššūnās īpaši sarežģītās objekta daļās un pie robežas.

Ar jebkuru metodi iegūts objekta trīsdimensiju modelis ir pareizs, t.i. šajā modelī nav pretrunu starp ģeometriskiem elementiem, piemēram, segments nevar sastāvēt no viena punkta.

Stiepļu rāmja attēlojums m.b. izmanto nevis modelēšanā, bet atspoguļojot modeļus (tilpuma vai virsmas) kā vienu no vizualizācijas metodēm.

Modelēšana– viena no galvenajām izziņas metodēm, kas sastāv atsevišķu daļu izolēšanā no sarežģītas parādības (objekta) un aizstāšanas ar citiem saprotamākiem un aprakstīšanai, skaidrošanai un attīstībai ērtākiem objektiem.

Modelis– reāls fizisks objekts vai process, teorētiska konstrukcija, sakārtota datu kopa, kas atspoguļo kādus pētāmā objekta vai parādības elementus vai īpašības, nozīmīgas no modelēšanas viedokļa.

Matemātiskais modelis– objekta, procesa vai parādības modelis, kas reprezentē matemātiskos likumus, ar kuru palīdzību tiek aprakstītas modelētā objekta, procesa vai parādības galvenās īpašības.

Ģeometriskā modelēšana– matemātiskās modelēšanas sadaļa – ļauj risināt dažādas problēmas divdimensiju, trīsdimensiju un vispārīgā gadījumā daudzdimensionālā telpā.

Ģeometriskais modelis ietver vienādojumu sistēmas un algoritmus to īstenošanai. Modeļa konstruēšanas matemātiskais pamats ir vienādojumi, kas apraksta objektu formu un kustību. Visa ģeometrisko objektu dažādība ir dažādu primitīvu - visvienkāršāko figūru kombinācija, kas savukārt sastāv no grafiskiem elementiem - punktiem, līnijām un virsmām.

Šobrīd ģeometriskā modelēšana tiek veiksmīgi izmantota menedžmentā un citās cilvēka darbības jomās. Ir divas galvenās ģeometriskās modelēšanas pielietošanas jomas: dizains un zinātniskā izpēte.

Skaitlisko datu analīzē var izmantot ģeometrisko modelēšanu. Šādos gadījumos sākotnējie skaitliskie dati tiek saistīti ar kādu ģeometrisku interpretāciju, kas pēc tam tiek analizēta, un analīzes rezultāti tiek interpretēti sākotnējo datu izteiksmē.

Ģeometriskās modelēšanas posmi:

● ģeometriskas problēmas formulējums, kas atbilst sākotnēji pielietotajai problēmai vai tās daļai;

● ģeometriskā algoritma izstrāde problēmas risināšanai;

● algoritma realizācija, izmantojot rīkus;

● iegūto rezultātu analīze un interpretācija.

Ģeometriskās modelēšanas metodes:

● analītiskais;

● grafikas;

● grafika, izmantojot datorgrafikas rīkus;

● grafiski analītiskās metodes.

Grafiski analītiskās metodes ir balstītas uz skaitļošanas ģeometrijas sadaļām, piemēram, R-funkciju teoriju, Kūnsa virsmu teoriju, Bezjē līkņu teoriju, splainu teoriju utt.

Mūsdienu zinātniskajiem pētījumiem ir raksturīga divdimensiju un trīsdimensiju daudzdimensiju ģeometrisko modeļu izmantošana (daļiņu fizika, kodolfizika utt.).

Koordinātu sistēma (CS) ir pamata (lineāri neatkarīgu) vektoru un attāluma vienību kopa pa šiem vektoriem ( e 1, e 2, …, lv).

Ja bāzes vektori ir normalizēti (vienības garuma) un savstarpēji ortogonāli, tad šādu CS sauc Dekarta(DSK).

Pasaules koordinātu sistēma (WCS) – xyz– satur atskaites punktu (koordinātu izcelsmi) un lineāri neatkarīgu bāzi, pateicoties kam kļūst iespējams digitāli aprakstīt jebkura grafiskā objekta ģeometriskās īpašības absolūtās vienībās.

Ekrāna koordinātu sistēma (ESC) – x uh y uh z e. Tas norāda ģeometrisko objektu projekciju pozīciju displeja ekrānā. Punkta projekcijai ECS ir koordinātas z e = 0. Tomēr šo koordinātu nevajadzētu izmest, jo MCS un ESC bieži tiek izvēlēti tā, lai tie sakristu, un projekcijas vektors [ x uh, y e, 0] var piedalīties transformācijās, kur vajadzīgas nevis divas, bet trīs koordinātes.

Ainas koordinātu sistēma (SCS) – x Ar y Ar zс – apraksta visu objektu novietojumu ainā – kādu pasaules telpas daļu ar savu izcelsmi un pamatu, ko izmanto, lai aprakstītu objektu novietojumu neatkarīgi no MSK.

Objekta koordinātu sistēma (OCS) – x O y O z o – savienots ar konkrētu objektu un veic visas kustības ar to SCS vai MSC.

Trīsdimensiju telpā (R3):

● ortogonāls Dekarta SC (x, y, z);

● cilindrisks SK (ρ, y, φ);

● sfērisks SC (r, φ, ω).

Saistība starp Dekarta CS un cilindrisko CS:

Transformāciju sauc par afīnu, ja tai ir šādas īpašības :

● jebkuru afīnu transformāciju var attēlot kā vienkāršu darbību secību: nobīde, stiepšana/saspiešana, rotācija;

● tiek saglabātas taisnes, līniju paralēlisms, vienā taisnē esošo nogriežņu garumu attiecība un figūru laukumu attiecība.

Afīnās koordinātu transformācijas plaknē :

(x, y) – divdimensiju koordinātu sistēma,

(X, Y) – vecās koordinātu sistēmas koordinātes jaunajā koordinātu sistēmā.

2. Ass pagarināšana/saspiešana:

Apgrieztā konvertēšana

Objektu afīnās transformācijas plaknē.

x, y- punkta vecās koordinātas, X, Y– jaunas punkta koordinātas.

Apgrieztā konvertēšana:

3. Rotācija ap koordinātu centru:

Apgrieztā konvertēšana:

Punkta pozīcija telpā R n (n-dimensiju telpa) tiek dota ar rādiusa vektoru lpp= [lpp 1, lpp 2, … , pn], kam n koordinātas lpp 1, lpp 2, … , pn un izplešanās n lineāri neatkarīgos bāzes vektoros e 1, e 2, … , lv :

https://pandia.ru/text/78/331/images/image019_47.gif" width="277" height="59">

Rinda lidmašīnā var norādīt, izmantojot vienādojumu netiešā formā:

(NF) f(x,y)= 0;

vai parametru formā:

(PF) lpp(t)= [x(t), y(t)].

Jebkurā regulārā (gludā un ne vairākkārtējā) līnijas punktā lpp 0= [x 0, y 0]= lpp(t 0) iespējams linearizācija līkne, t.i., novelkot tai pieskares līniju, kuras vienādojumiem ir forma

(NF) Nx(x - x 0) + Ny(y - y 0) = 0 vai N ◦ (lpp - lpp 0) = 0,

(PF) x(t) = x 0 + Vx t, y(t)= y 0 + Vy t vai lpp(t) = lpp 0 + Vt.

Normāls vektors N= [Nx, Ny] ir ortogonāls līnijai un ir vērsts virzienā, kur f(lpp)> 0.

Virziena līnijas vektors V= [Vx, Vy] sākas punktā lpp 0 un vērsta tangenciāli uz lpp(t) virzienā uz pieaugumu t.

Vektori N Un V ortogonāls, t.i. N ◦ V= 0 vai NxVx + NyVy = 0.

Attiecība starp normālo vektoru un virziena vektoru:

N=[Vy, - Vx], V=[-Ny, Nx]

Netiešs līnijas vienādojums tiek dota ar trim koeficientiem A, B Un D, vektora sastāvdaļas F= [A, B, D]:

(NF): Ax+ Autors+ D=0.

Vismaz viens no cipariem A vai B nedrīkst būt nulle.

Ja abi koeficienti nav nulle ( A≠0 un B≠0), tad taisne iet slīpi pret koordinātu asīm un krustojas ar tām punktos (- D/ A, 0) un (0, - D/ B).

Plkst A=0, B≠0 vienādojums Autors+ D=0 apraksta horizontālu līniju y= – D/ B .

Plkst A≠0, B= 0 vienādojums Ax+ D=0 apraksta vertikālu līniju x= – D/ A.

Taisnā līnija iet caur izcelsmi: f(0,0)=0 plkst D=0.

Sakarā ar taisnes īpašību sadalīt plakni divās pusplaknēs ar pretējām zīmēm, netiešais vienādojums ļauj noteikt punkta (punktu) stāvokli plaknē attiecībā pret taisni:

1) punkts q atrodas uz taisnas līnijas, ja f(q)=0;

2) punkti a Un b gulēt vienā līnijas pusē, ja f(a)∙ f(b)>0;

3) punkti a Un b gulēt uz taisnas līnijas pretējām pusēm, ja f(a)∙ f(b)0 punkts a atrodas tajā pašā pustelpā, kur ir vērsts normāls, un leņķis Ð (a- lpp 0, N) pikants;

● kad f(b)