एक वर्गाकार आधार के साथ समांतर चतुर्भुज। एक समानांतर चतुर्भुज क्या है? ज्ञान चरण

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समांतर चतुर्भुज का अर्थ ग्रीक में विमान है। एक समानांतर चतुर्भुज एक प्रिज्म है जिसका आधार एक समांतर चतुर्भुज है। समांतर चतुर्भुज पाँच प्रकार के होते हैं: तिरछा, सीधा और आयताकार समानांतर चतुर्भुज। घन और समचतुर्भुज भी समांतर चतुर्भुज से संबंधित हैं और इसकी विविधता हैं।

बुनियादी अवधारणाओं पर आगे बढ़ने से पहले, आइए कुछ परिभाषाएँ दें:

• समानांतर चतुर्भुज का विकर्ण एक खंड है जो समानांतर चतुर्भुज के कोने को जोड़ता है जो एक दूसरे के विपरीत होते हैं।
• यदि दो फलकों का एक उभयनिष्ठ किनारा है, तो हम उन्हें आसन्न किनारे कह सकते हैं। यदि कोई उभयनिष्ठ किनारा नहीं है, तो फलकों को विपरीत कहा जाता है।
• दो शीर्ष जो एक ही फलक पर नहीं होते हैं, विपरीत कहलाते हैं।

समानांतर चतुर्भुज के गुण क्या हैं?

1. विपरीत पक्षों पर स्थित एक समानांतर चतुर्भुज के फलक एक दूसरे के समानांतर और एक दूसरे के बराबर होते हैं।
2. यदि आप एक शीर्ष से दूसरे शीर्ष पर विकर्ण खींचते हैं, तो इन विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु उन्हें आधे में विभाजित कर देगा।
3. आधार से समान कोण पर स्थित एक समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ समान होंगी। दूसरे शब्दों में, कोडायरेक्शनल पक्षों के कोण एक दूसरे के बराबर होंगे।

समानांतर चतुर्भुज के प्रकार क्या हैं?

अब आइए जानें कि समांतर चतुर्भुज क्या हैं। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, इस आकृति के कई प्रकार हैं: एक सीधा, आयताकार, तिरछा समानांतर चतुर्भुज, साथ ही एक घन और एक समचतुर्भुज। वे एक दूसरे से कैसे भिन्न हैं? यह उन सभी विमानों के बारे में है जो उन्हें बनाते हैं और जो कोण बनाते हैं।

आइए प्रत्येक पर करीब से नज़र डालें सूचीबद्ध प्रजातियांसमानांतर चतुर्भुज।

• जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, एक झुके हुए बॉक्स में झुके हुए फलक होते हैं, अर्थात् वे फलक जो आधार के संबंध में 90 डिग्री के कोण पर नहीं होते हैं।
• लेकिन समांतर चतुर्भुज के लिए, आधार और चेहरे के बीच का कोण सिर्फ नब्बे डिग्री है। यही कारण है कि इस प्रकार के समानांतर चतुर्भुज का ऐसा नाम है।
• यदि समांतर चतुर्भुज के सभी फलक समान वर्ग हैं, तो इस आकृति को घन माना जा सकता है।
• आयताकार समानांतर चतुर्भुज का नाम इसे बनाने वाले विमानों के कारण मिला। यदि वे सभी आयत (आधार सहित) हैं, तो यह एक घनाभ है। इस प्रकार का समानांतर चतुर्भुज इतना आम नहीं है। ग्रीक में, rhombohedron का अर्थ है चेहरा या आधार। यह एक त्रि-आयामी आकृति का नाम है, जिसमें फलक समचतुर्भुज होते हैं।

समानांतर चतुर्भुज के लिए मूल सूत्र

एक समानांतर चतुर्भुज का आयतन आधार के क्षेत्रफल के गुणनफल के बराबर होता है और इसकी ऊँचाई आधार के लंबवत होती है।

पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होगा।
मूल परिभाषाओं और सूत्रों को जानकर, आप आधार क्षेत्र और आयतन की गणना कर सकते हैं। आप अपनी पसंद का आधार चुन सकते हैं। हालांकि, एक नियम के रूप में, एक आयत का उपयोग आधार के रूप में किया जाता है।

प्रमेय। किसी भी समांतर चतुर्भुज में, विपरीत फलक समान और समानांतर होते हैं।

इसलिए, फलक (चित्र) BB 1 C 1 C और AA 1 D 1 D समानांतर हैं, क्योंकि एक फलक की दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ BB 1 और B 1 C 1 दो प्रतिच्छेदी रेखाओं AA 1 और A 1 D 1 के समानांतर हैं। अन्य। ये फलक बराबर हैं, क्योंकि B 1 C 1 =A 1 D 1, B 1 B=A 1 A (समानांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं के रूप में) और BB 1 C 1 = AA 1 D 1 है।

प्रमेय। किसी भी समांतर चतुर्भुज में, सभी चार विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और उस पर आधे में विभाजित होते हैं।

एक समानांतर चतुर्भुज में (अंजीर।) किन्हीं दो विकर्णों को लें, उदाहरण के लिए, AC 1 और DB 1, और सीधी रेखाएँ AB 1 और DC 1 खींचें।

चूँकि किनारे AD और B 1 C 1 क्रमशः किनारे BC के बराबर और समानांतर हैं, वे एक दूसरे के बराबर और समानांतर हैं।

नतीजतन, आंकड़ा एडीसी 1 बी 1 एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें सी 1 ए और डीबी 1 विकर्ण हैं, और समांतर चतुर्भुज में विकर्ण आधे में छेड़छाड़ करते हैं।

यह प्रमाण प्रत्येक दो विकर्णों के लिए दोहराया जा सकता है।

इसलिए, विकर्ण AC 1 आधे में BD 1 के साथ, विकर्ण BD 1 को A 1 C के साथ आधे में काटता है।

इस प्रकार, सभी विकर्ण आधे में प्रतिच्छेद करते हैं और इसलिए, एक बिंदु पर।

प्रमेय। एक घनाभ में, किसी भी विकर्ण का वर्ग उसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

मान लीजिए (अंजीर।) AC 1 एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का कुछ विकर्ण है।

AC खींचने के बाद, हमें दो त्रिभुज प्राप्त होते हैं: AC 1 C और ACB। दोनों आयताकार हैं।

पहला क्योंकि बॉक्स सीधा है, और इसलिए किनारा CC 1 आधार के लंबवत है,

दूसरा इसलिए है क्योंकि समानांतर चतुर्भुज आयताकार है, जिसका अर्थ है कि इसके आधार पर एक आयत है।

इन त्रिभुजों से हम पाते हैं:

एसी 2 1 = एसी 2 + सीसी 2 1 और एसी 2 = एबी 2 + बीसी 2

इसलिए, एसी 2 1 = एबी 2 + बीसी 2 + 2 1 = एबी 2 + एडी 2 + एए 2 1

परिणाम। एक घनाभ में, सभी विकर्ण बराबर होते हैं.