पाइथागोरस का व्युत्क्रम सूत्र। पाठ "प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय के विपरीत"
विषय: प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय के विपरीत है।
पाठ मकसद: 1) पाइथागोरस प्रमेय के विपरीत एक प्रमेय पर विचार करें; समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में इसका आवेदन; पाइथागोरस प्रमेय को समेकित करना और इसके अनुप्रयोग के लिए समस्या समाधान कौशल में सुधार करना;
2) तार्किक सोच, रचनात्मक खोज, संज्ञानात्मक रुचि विकसित करना;
3) छात्रों को सीखने के लिए एक जिम्मेदार रवैया, गणितीय भाषण की संस्कृति में शिक्षित करने के लिए।
पाठ प्रकार। नया ज्ञान सीखने का एक पाठ।
कक्षाओं के दौरान
І. आयोजन का समय
ІІ. अद्यतन ज्ञान
मुझे सबकचाहेंगेचाहता थाएक चौपाई के साथ शुरू करो।
हाँ, ज्ञान का मार्ग सुगम नहीं है
लेकिन हम स्कूल के वर्षों से जानते हैं
पहेलियों से ज्यादा रहस्य
और खोज की कोई सीमा नहीं है!
तो, पिछले पाठ में, आपने पाइथागोरस प्रमेय सीखा। प्रशन:
पाइथागोरस प्रमेय किस आकृति के लिए मान्य है?
समकोण त्रिभुज किसे कहते हैं?
पाइथागोरस प्रमेय तैयार करें।
प्रत्येक त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय कैसे लिखा जाएगा?
समान त्रिभुज किसे कहते हैं?
त्रिभुजों की समता के चिन्ह बनाइए?
और अब थोड़ा स्वतंत्र कार्य करते हैं:
चित्रों के अनुसार समस्याओं का समाधान।
№1
(1 बी.) खोजें: एबी।
№2
(1 बी।) खोजें: ई.पू.
№3
( 2 बी।)खोजें: एसी
№4
(1 ख.)खोजें: एसी
№5 दिया गया: ABCडीविषमकोण
(2 बी।) एबी \u003d 13 सेमी
एसी = 10 सेमी
में देखोडी
सेल्फ चेक # 1। 5
№2. 5
№3. 16
№4. 13
№5. 24
ІІІ. द स्टडी नया सामग्री।
प्राचीन मिस्रियों ने इस तरह से जमीन पर समकोण बनाया: उन्होंने रस्सी को 12 बराबर भागों में गांठों से विभाजित किया, इसके सिरों को बांधा, जिसके बाद रस्सी को जमीन पर खींचा गया ताकि 3, 4 और पक्षों के साथ एक त्रिकोण बनाया जा सके। 5 डिवीजन। त्रिभुज का कोण, जो 5 भागों के साथ भुजा के विपरीत स्थित था, सही था।
क्या आप इस निर्णय की सत्यता की व्याख्या कर सकते हैं?
प्रश्न का उत्तर खोजने के परिणामस्वरूप, छात्रों को यह समझना चाहिए कि गणितीय दृष्टिकोण से, प्रश्न यह है: क्या त्रिभुज समकोण होगा।
हम इस समस्या को प्रस्तुत करते हैं: कैसे, माप किए बिना, यह निर्धारित करने के लिए कि दी गई भुजाओं वाला त्रिभुज समकोण है या नहीं। इस समस्या को हल करना पाठ का उद्देश्य है।
पाठ का विषय लिखिए।
प्रमेय। यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर हो, तो त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज होता है।
प्रमेय को स्वतंत्र रूप से सिद्ध कीजिए (पाठ्यपुस्तक के अनुसार एक प्रमाण योजना बनाइए)।
इस प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि 3, 4, 5 भुजाओं वाला त्रिभुज एक समकोण (मिस्र) होता है।
सामान्य तौर पर, वे संख्याएँ जिनके लिए समानता होती है पाइथागोरस त्रिक कहलाते हैं। और त्रिभुज जिनकी भुजाओं की लंबाई पाइथागोरस त्रिक (6, 8, 10) द्वारा व्यक्त की जाती है, पाइथागोरस त्रिभुज हैं।
समेकन।
इसलिये , तो 12, 13, 5 भुजाओं वाला त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज नहीं है।
इसलिये , तो 1, 5, 6 भुजाओं वाला त्रिभुज समकोण है।
№ 430 (ए, बी, सी)
( - नहीं है)
वैन डेर वेर्डन के अनुसार, यह बहुत संभावना है कि सामान्य रूप में अनुपात 18 वीं शताब्दी ईसा पूर्व के आसपास बेबीलोन में पहले से ही ज्ञात था। इ।
लगभग 400 ई.पू. ई।, प्रोक्लस के अनुसार, प्लेटो ने पायथागॉरियन ट्रिपल खोजने, बीजगणित और ज्यामिति के संयोजन के लिए एक विधि दी। लगभग 300 ई.पू. इ। यूक्लिड के "तत्वों" में पाइथागोरस प्रमेय का सबसे पुराना स्वयंसिद्ध प्रमाण दिखाई दिया।
शब्दों
मुख्य सूत्रीकरण में बीजगणितीय संक्रियाएँ होती हैं - एक समकोण त्रिभुज में, जिसकी टाँगों की लंबाई बराबर होती है ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)तथा बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी), और कर्ण की लंबाई है सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी), रिश्ता पूरा हो गया है:
.क्षेत्र-आकृति की अवधारणा का सहारा लेते हुए एक समान ज्यामितीय सूत्रीकरण भी संभव है: एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है। इस रूप में, यूक्लिड के प्रिन्सिपिया में प्रमेय तैयार किया गया है।
उलटा पाइथागोरस प्रमेय- किसी भी त्रिभुज की आयताकारता के बारे में बयान, जिसकी भुजाओं की लंबाई संबंध से संबंधित होती है a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). परिणामस्वरूप, धनात्मक संख्याओं के किसी भी तिगुने के लिए ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए), बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी)तथा सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी), ऐसा है कि a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज है ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)तथा बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी)और कर्ण सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी).
का प्रमाण
पाइथागोरस प्रमेय के कम से कम 400 प्रमाण वैज्ञानिक साहित्य में दर्ज किए गए हैं, जिसे ज्यामिति के मौलिक मूल्य और परिणाम की प्रारंभिक प्रकृति दोनों द्वारा समझाया गया है। प्रमाणों की मुख्य दिशाएँ हैं: तत्वों के अनुपात का बीजगणितीय उपयोग-त्रिकोण (जैसे, उदाहरण के लिए, लोकप्रिय समानता विधि है), क्षेत्र विधि, विभिन्न विदेशी प्रमाण भी हैं (उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणों का उपयोग करके)।
समरूप त्रिभुजों द्वारा
यूक्लिड के शास्त्रीय प्रमाण का उद्देश्य कर्ण के ऊपर के वर्ग को पैरों के ऊपर के वर्गों के साथ समकोण से ऊंचाई के साथ विदारक करके गठित आयतों के बीच के क्षेत्रों की समानता स्थापित करना है।
प्रमाण के लिए प्रयुक्त संरचना इस प्रकार है: समकोण वाले समकोण त्रिभुज के लिए सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी), पैरों पर वर्ग और कर्ण के ऊपर वर्ग ए बी आई के (\displaystyle अबीक)ऊंचाई बनाई जा रही है सी एच (\ डिस्प्लेस्टाइल सीएच)और वह किरण जो इसे जारी रखती है s (\displaystyle s)कर्ण के ऊपर के वर्ग को दो आयतों में विभाजित करना और . प्रमाण का उद्देश्य आयत के क्षेत्रफलों की समानता स्थापित करना है ए एच जे के (\displaystyle AHJK)पैर के ऊपर एक वर्ग के साथ एसी (\ डिस्प्लेस्टाइल एसी); दूसरे आयत के क्षेत्रफलों की समानता, जो कर्ण के ऊपर एक वर्ग है, और दूसरे पैर के ऊपर आयत इसी तरह से स्थापित है।
एक आयत के क्षेत्रफल की समानता ए एच जे के (\displaystyle AHJK)तथा ए सी ई डी (\displaystyle ACED)त्रिभुजों की सर्वांगसमता के माध्यम से स्थापित ए सी के (\displaystyle \triangle ACK)तथा △ ए बी डी (\displaystyle \triangle ABD), जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल वर्गों के आधे क्षेत्रफल के बराबर है ए एच जे के (\displaystyle AHJK)तथा ए सी ई डी (\displaystyle ACED)क्रमशः, निम्नलिखित संपत्ति के संबंध में: एक त्रिभुज का क्षेत्रफल एक आयत के आधे क्षेत्रफल के बराबर होता है यदि आकृतियों में एक उभयनिष्ठ भुजा हो, और त्रिभुज की उभयनिष्ठ भुजा की ऊंचाई दूसरी भुजा हो आयत। त्रिभुजों की सर्वांगसमता दो भुजाओं (वर्गों की भुजाओं) की समानता और उनके बीच के कोण (एक समकोण और एक कोण से मिलकर बनी होती है) का अनुसरण करती है। ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए).
इस प्रकार, प्रमाण यह स्थापित करता है कि कर्ण के ऊपर वर्ग का क्षेत्रफल, आयतों से बना है ए एच जे के (\displaystyle AHJK)तथा बी एच जे आई (\displaystyle BHJI), पैरों के ऊपर के वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर है।
लियोनार्डो दा विंची का प्रमाण
क्षेत्र पद्धति में लियोनार्डो दा विंची द्वारा पाया गया प्रमाण भी शामिल है। मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज है △ ए बी सी (\displaystyle \triangle ABC)समकोण सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी)और वर्ग ए सी ई डी (\displaystyle ACED), बी सी एफ जी (\displaystyle बीसीएफजी)तथा ए बी एच जे (\displaystyle एबीएचजे)(तस्वीर देखो)। इस प्रमाण में पक्ष में एच जे (\ डिस्प्लेस्टाइल एचजे)उत्तरार्द्ध, एक त्रिभुज का निर्माण बाहर से किया गया है, सर्वांगसम △ ए बी सी (\displaystyle \triangle ABC), इसके अलावा, कर्ण के सापेक्ष और उसकी ऊंचाई के सापेक्ष दोनों को प्रतिबिंबित करता है (अर्थात, जे मैं = बी सी (\displaystyle जीआई=बीसी)तथा एच आई = एसी (\displaystyle HI=AC)) सीधा सीआई (\displaystyle सीआई)कर्ण पर बने वर्ग को दो बराबर भागों में विभाजित करता है, क्योंकि त्रिभुज △ ए बी सी (\displaystyle \triangle ABC)तथा जे एच आई (\displaystyle \triangle JHI)निर्माण में समान हैं। प्रमाण चतुर्भुजों की सर्वांगसमता स्थापित करता है सी ए जे आई (\displaystyle CAJI)तथा डी ए बी जी (\displaystyle डीएबीजी), जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल, एक ओर, पैरों पर वर्गों के आधे क्षेत्रों के योग के बराबर है और दूसरी ओर मूल त्रिभुज का क्षेत्रफल, के आधे क्षेत्र के बराबर है कर्ण पर वर्ग और मूल त्रिभुज का क्षेत्रफल। कुल मिलाकर, पैरों के ऊपर के वर्गों के क्षेत्रफल का आधा योग कर्ण के ऊपर के वर्ग के आधे क्षेत्रफल के बराबर है, जो पाइथागोरस प्रमेय के ज्यामितीय सूत्रीकरण के बराबर है।
अतिसूक्ष्म विधि द्वारा प्रमाण
अवकल समीकरणों की तकनीक का उपयोग करने वाले कई प्रमाण हैं। विशेष रूप से, हार्डी को इनफिनिटसिमल लेग इंक्रीमेंट का उपयोग करके एक प्रमाण का श्रेय दिया जाता है ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)तथा बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी)और कर्ण सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी), और मूल आयत के साथ समानता को बनाए रखना, अर्थात् निम्नलिखित अंतर संबंधों की पूर्ति सुनिश्चित करना:
d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).चरों के पृथक्करण की विधि से, उनसे एक अवकल समीकरण प्राप्त होता है c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), जिसका एकीकरण संबंध देता है c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). प्रारंभिक शर्तों का आवेदन a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)एक स्थिरांक को 0 के रूप में परिभाषित करता है, जिसके परिणामस्वरूप प्रमेय की पुष्टि होती है।
अंतिम सूत्र में द्विघात निर्भरता त्रिभुज की भुजाओं और वृद्धि के बीच रैखिक आनुपातिकता के कारण प्रकट होती है, जबकि योग विभिन्न पैरों की वृद्धि से स्वतंत्र योगदान के कारण होता है।
विविधताएं और सामान्यीकरण
तीन तरफ समान ज्यामितीय आकृतियाँ
पाइथागोरस प्रमेय का एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय सामान्यीकरण यूक्लिड द्वारा तत्वों में दिया गया था, जो पक्षों पर वर्गों के क्षेत्रों से मनमाने समान क्षेत्रों तक जाता है। ज्यामितीय आकार: पैरों पर बनी ऐसी आकृतियों के क्षेत्रफलों का योग कर्ण पर बनी उनके समान आकृति के क्षेत्रफल के बराबर होगा।
इस सामान्यीकरण का मुख्य विचार यह है कि इस तरह की ज्यामितीय आकृति का क्षेत्र इसके किसी भी रैखिक आयाम के वर्ग के समानुपाती होता है और विशेष रूप से, किसी भी पक्ष की लंबाई के वर्ग के लिए। इसलिए, के लिए समान आंकड़ेक्षेत्रों के साथ ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए), बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी)तथा सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी)लंबाई के साथ पैरों पर बनाया गया ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)तथा बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी)और कर्ण सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी)तदनुसार, एक संबंध है:
ए ए 2 = बी बी 2 = सी सी 2 ⇒ ए + बी = ए 2 सी 2 सी + बी 2 सी 2 सी (\displaystyle (\frac (ए)(ए^(2)))=(\frac (बी) )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).चूंकि पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), तो यह किया जाता है।
इसके अलावा, यदि पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किए बिना यह साबित करना संभव है कि एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं पर तीन समान ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों के लिए, संबंध ए + बी = सी (\displaystyle ए+बी=सी), फिर यूक्लिड के सामान्यीकरण के प्रमाण के विपरीत का उपयोग करके, हम पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि कर्ण पर हम क्षेत्रफल के साथ प्रारंभिक त्रिभुज के सर्वांगसम समकोण त्रिभुज बनाते हैं सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी), और पैरों पर - क्षेत्रों के साथ दो समान समकोण त्रिभुज ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)तथा बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी), तो यह पता चलता है कि प्रारंभिक त्रिभुज को उसकी ऊँचाई से विभाजित करने के परिणामस्वरूप पैरों पर त्रिभुज बनते हैं, अर्थात त्रिभुजों के दो छोटे क्षेत्रों का योग तीसरे के क्षेत्रफल के बराबर होता है, इस प्रकार ए + बी = सी (\displaystyle ए+बी=सी)और, समान आकृतियों के संबंध को लागू करने पर, पाइथागोरस प्रमेय प्राप्त होता है।
कोसाइन प्रमेय
पाइथागोरस प्रमेय अधिक सामान्य कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला है जो एक मनमाना त्रिभुज में पक्षों की लंबाई से संबंधित है:
a 2 + b 2 − 2 a b cos = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),भुजाओं के बीच का कोण कहाँ है ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)तथा बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी). यदि कोण 90° है, तो cos = 0 (\displaystyle \cos \theta=0), और सूत्र सामान्य पाइथागोरस प्रमेय को सरल करता है।
मनमाना त्रिकोण
पायथागॉरियन प्रमेय का एक मनमाना त्रिभुज के लिए एक सामान्यीकरण है, जो पूरी तरह से पक्षों की लंबाई के अनुपात पर काम करता है, ऐसा माना जाता है कि यह पहली बार सबियन खगोल विज्ञानी सबितिबिन-कुर्रा द्वारा स्थापित किया गया था। इसमें, पक्षों के साथ एक मनमाना त्रिभुज के लिए, एक समद्विबाहु त्रिभुज जिसके आधार पर भुजा होती है सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी), मूल त्रिभुज के शीर्ष के साथ मेल खाने वाला शीर्ष, भुजा के विपरीत सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी)और आधार पर कोण के बराबर कोण (\displaystyle \थीटा )विपरीत दिशा सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी). नतीजतन, दो त्रिकोण बनते हैं, जो मूल के समान होते हैं: पक्षों वाला पहला ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए), खुदा हुआ समद्विबाहु त्रिभुज का पार्श्व भाग इससे दूर, तथा r (\displaystyle r)- पार्श्व भाग सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी); दूसरी तरफ से सममित है बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी)एक पार्टी के साथ s (\displaystyle s)- पक्ष का प्रासंगिक भाग सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी). नतीजतन, रिश्ता पूरा हो गया है:
a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),जो पायथागॉरियन प्रमेय में पतित हो जाता है θ = / 2 (\displaystyle \थीटा =\pi/2). अनुपात गठित त्रिभुजों की समानता का परिणाम है:
c a = a r , c b = b s c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (बी))=(\frac (बी)(एस))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).पप्पस क्षेत्र प्रमेय
गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति
पाइथागोरस प्रमेय यूक्लिडियन ज्यामिति के स्वयंसिद्धों से लिया गया है और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए अमान्य है - पाइथागोरस प्रमेय की पूर्ति यूक्लिडियन समानता के अभिधारणा के बराबर है।
गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच संबंध आवश्यक रूप से पाइथागोरस प्रमेय से भिन्न रूप में होगा। उदाहरण के लिए, गोलाकार ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई होती है, जो इकाई गोले के अष्टक को बांधती है। / 2 (\displaystyle \pi/2), जो पाइथागोरस प्रमेय का खंडन करता है।
इसके अलावा, पाइथागोरस प्रमेय अतिपरवलयिक और अण्डाकार ज्यामिति में मान्य है, यदि त्रिभुज के आयताकार होने की आवश्यकता को इस शर्त से बदल दिया जाता है कि त्रिभुज के दो कोणों का योग तीसरे के बराबर होना चाहिए।
गोलाकार ज्यामिति
त्रिज्या वाले गोले पर किसी समकोण त्रिभुज के लिए आर (\ डिस्प्लेस्टाइल आर)(उदाहरण के लिए, यदि त्रिभुज में कोण सम है) भुजाओं के साथ a , b , c (\displaystyle a,b,c)पक्षों के बीच संबंध है:
cos (c R) = cos (a R) cos (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac) (ए)(आर))\दाएं)\cdot \cos \बाएं((\frac (बी)(आर))\दाएं)).यह समानता गोलाकार कोसाइन प्रमेय के एक विशेष मामले के रूप में प्राप्त की जा सकती है, जो सभी गोलाकार त्रिभुजों के लिए मान्य है:
cos (c R) = cos (a R) cos (b R) + sin (a R) ⋅ sin (b R) cos (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ पाप \बाएं((\frac (ए)(आर))\दाएं)\cdot \sin \बाएं((\frac (बी)(आर))\दाएं)\cdot \cos \gamma). ch c = ch a ch b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),कहाँ पे ch (\displaystyle \ऑपरेटरनाम (ch))- हाइपरबोलिक-कोसाइन। यह सूत्र अतिपरवलयिक कोज्या प्रमेय का एक विशेष मामला है, जो सभी त्रिभुजों के लिए मान्य है:
ch c = ch a ch b - sh a sh b ⋅ cos (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (श) a\cdot \operatorname (श) b\cdot \cos \gamma),कहाँ पे (\displaystyle \गामा )- एक कोण जिसका शीर्ष एक भुजा के विपरीत है सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी).
हाइपरबोलिक कोसाइन के लिए टेलर श्रृंखला का उपयोग करना ( ch x ≈ 1 + x 2/2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\लगभग 1+x^(2)/2)) यह दिखाया जा सकता है कि यदि अतिपरवलयिक त्रिभुज घटता है (अर्थात, जब ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए), बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी)तथा सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी)शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं), तो एक समकोण त्रिभुज में अतिपरवलयिक संबंध शास्त्रीय पाइथागोरस प्रमेय के संबंध तक पहुँचते हैं।
आवेदन पत्र
द्वि-आयामी आयताकार प्रणालियों में दूरी
पायथागॉरियन प्रमेय का सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग एक आयताकार-प्रणाली-निर्देशांक में दो बिंदुओं के बीच की दूरी का निर्धारण करना है: दूरी s (\displaystyle s)निर्देशांक के साथ बिंदुओं के बीच (ए, बी) (\displaystyle (ए,बी))तथा (सी, डी) (\displaystyle (सी,डी))बराबर:
s = (a - c) 2 + (b - d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).सम्मिश्र संख्याओं के लिए, पाइथागोरस प्रमेय मापांक (कॉम्प्लेक्स) संख्या ज्ञात करने के लिए एक प्राकृतिक सूत्र देता है - के लिए z = x + y i (\displaystyle z=x+yi)यह लंबाई के बराबर है
पाठ मकसद:
शैक्षिक: पाइथागोरस प्रमेय और पाइथागोरस प्रमेय के विलोम को तैयार और सिद्ध करें। उनका ऐतिहासिक और व्यावहारिक महत्व दिखाएं।
विकास करना: छात्रों का ध्यान, स्मृति, तार्किक सोच विकसित करना, तर्क करने की क्षमता, तुलना करना, निष्कर्ष निकालना।
शैक्षिक: विषय, सटीकता, साथियों और शिक्षकों को सुनने की क्षमता के लिए रुचि और प्यार पैदा करना।
उपकरण: पाइथागोरस का चित्र, समेकन के कार्यों के साथ पोस्टर, पाठ्यपुस्तक "ज्यामिति" ग्रेड 7-9 (I.F. Sharygin)।
शिक्षण योजना:
I. संगठनात्मक क्षण - 1 मिनट।
द्वितीय. होमवर्क चेक करना - 7 मि.
III. शिक्षक का परिचयात्मक भाषण, ऐतिहासिक पृष्ठभूमि - 4-5 मिनट।
चतुर्थ। पाइथागोरस प्रमेय का निरूपण और प्रमाण - 7 मिनट।
वी। प्रमेय का सूत्रीकरण और प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय के विपरीत - 5 मिनट।
नई सामग्री फिक्सिंग:
क) मौखिक - 5-6 मिनट।
बी) लिखित - 7-10 मिनट।
सातवीं। होमवर्क - 1 मिनट।
आठवीं। पाठ को सारांशित करना - 3 मि।
कक्षाओं के दौरान
I. संगठनात्मक क्षण।
द्वितीय. गृहकार्य की जाँच करना।
p.7.1, नंबर 3 (समाप्त ड्राइंग के अनुसार बोर्ड पर)।
स्थिति: एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई कर्ण को लंबाई 1 और 2 के खंडों में विभाजित करती है। इस त्रिभुज के पैर ज्ञात कीजिए।
ईसा पूर्व = ए; सीए = बी; बीए = सी; बीडी = ए 1 ; डीए = बी 1; सीडी = एचसी
अतिरिक्त प्रश्न: अनुपातों को एक समकोण त्रिभुज में लिखिए।
आइटम 7.1, संख्या 5. समकोण त्रिभुज को एक दूसरे के समान तीन त्रिभुजों में काटें।
समझाना।
एएसएन ~ एबीसी ~ एसवीएन
(छात्रों का ध्यान समरूप त्रिभुजों के संगत शीर्षों की सही रिकॉर्डिंग की ओर आकर्षित करें)
III. शिक्षक का परिचयात्मक भाषण, ऐतिहासिक पृष्ठभूमि।
सत्य शाश्वत रहेगा, जैसे ही एक कमजोर व्यक्ति इसे जानता है!
और अब पाइथागोरस प्रमेय सत्य है, जैसा कि उनके दूर के युग में था।
यह कोई संयोग नहीं है कि मैंने अपने पाठ की शुरुआत जर्मन उपन्यासकार चामिसो के शब्दों से की। आज का हमारा पाठ पाइथागोरस प्रमेय के बारे में है। आइए पाठ का विषय लिखें।
आपके सामने महान पाइथागोरस का चित्र है। 576 ईसा पूर्व में पैदा हुआ। 80 वर्ष जीवित रहने के बाद 496 ईसा पूर्व में उनकी मृत्यु हो गई। एक प्राचीन यूनानी दार्शनिक और शिक्षक के रूप में जाना जाता है। वह व्यापारी मेनेसारकस का पुत्र था, जो अक्सर उसे अपनी यात्राओं पर ले जाता था, जिसकी बदौलत लड़के में जिज्ञासा और नई चीजें सीखने की इच्छा विकसित हुई। पाइथागोरस उनकी वाक्पटुता के लिए दिया गया एक उपनाम है ("पाइथागोरस" का अर्थ है "प्रेरक भाषण")। उन्होंने खुद कुछ नहीं लिखा। उनके सभी विचार उनके छात्रों द्वारा दर्ज किए गए थे। उनके द्वारा दिए गए पहले व्याख्यान के परिणामस्वरूप, पाइथागोरस ने 2,000 छात्रों का अधिग्रहण किया, जिन्होंने अपनी पत्नियों और बच्चों के साथ मिलकर एक विशाल स्कूल का गठन किया और "ग्रेट ग्रीस" नामक एक राज्य बनाया, जो पाइथागोरस के कानूनों और नियमों पर आधारित है, जिसे सम्मानित किया गया है। ईश्वरीय आज्ञाएँ। उन्होंने जीवन दर्शन (दर्शन) के अर्थ के बारे में अपने तर्क को सबसे पहले बताया। वह रहस्यवाद और प्रदर्शनकारी व्यवहार के लिए प्रवृत्त था। एक बार पाइथागोरस भूमिगत हो गया, और अपनी माँ से जो कुछ हो रहा था, उसके बारे में सीखा। फिर, एक कंकाल की तरह सूख गया, उसने सार्वजनिक सभा में घोषणा की कि वह पाताल लोक में है, और सांसारिक घटनाओं के बारे में अद्भुत जागरूकता दिखाई। इसके लिए स्पर्श करने वाले निवासियों ने उन्हें भगवान के रूप में पहचाना। पाइथागोरस कभी नहीं रोया और आम तौर पर जुनून और उत्तेजना के लिए दुर्गम था। उनका मानना था कि वह एक ऐसे बीज से आते हैं जो मानव की तुलना में बेहतर है। पाइथागोरस का पूरा जीवन एक किंवदंती है जो हमारे समय में आ गई है और हमें प्राचीन दुनिया के सबसे प्रतिभाशाली व्यक्ति के बारे में बताया है।
चतुर्थ। पाइथागोरस प्रमेय का निरूपण और प्रमाण।
पायथागॉरियन प्रमेय का निरूपण आप बीजगणित के पाठ्यक्रम से जानते हैं। चलो उसे याद करते हैं।
एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हालाँकि, इस प्रमेय को पाइथागोरस से कई साल पहले जाना जाता था। पाइथागोरस से 1500 साल पहले, प्राचीन मिस्रवासी जानते थे कि 3, 4 और 5 भुजाओं वाला एक त्रिभुज आयताकार होता है और इस संपत्ति का उपयोग भूमि की योजना बनाते समय और इमारतों का निर्माण करते समय समकोण बनाने के लिए किया जाता था। पाइथागोरस से 600 साल पहले लिखे गए सबसे पुराने चीनी गणितीय और खगोलीय कार्यों में, पाइथागोरस से संबंधित अन्य वाक्यों में, पाइथागोरस प्रमेय भी निहित है। पहले भी, यह प्रमेय हिंदुओं को ज्ञात था। इस प्रकार, पाइथागोरस ने समकोण त्रिभुज के इस गुण की खोज नहीं की; वह शायद सबसे पहले सामान्यीकरण और इसे साबित करने वाले थे, इसे अभ्यास के क्षेत्र से विज्ञान के क्षेत्र में स्थानांतरित करने के लिए।
प्राचीन काल से, गणितज्ञ पाइथागोरस प्रमेय के अधिक से अधिक प्रमाण खोजते रहे हैं। एक सौ पचास से अधिक ज्ञात हैं। आइए पायथागॉरियन प्रमेय के बीजगणितीय प्रमाण को याद करें, जो हमें बीजगणित के पाठ्यक्रम से ज्ञात है। ("गणित। बीजगणित। कार्य। डेटा विश्लेषण" जीवी डोरोफीव, एम।, "बबलहेड", 2000)।
छात्रों को ड्राइंग के लिए सबूत याद रखने और बोर्ड पर लिखने के लिए आमंत्रित करें।
(ए + बी) 2 \u003d 4 1/2 ए * बी + सी 2 बी ए
ए 2 + 2 ए * बी + बी 2 \u003d 2 ए * बी + सी 2
ए 2 + बी 2 = सी 2 ए ए बी
प्राचीन हिंदू, जिनके पास यह तर्क है, ने आमतौर पर इसे नहीं लिखा था, लेकिन चित्र के साथ केवल एक शब्द था: "देखो।"
आइए हम एक आधुनिक प्रस्तुति में पाइथागोरस से संबंधित प्रमाणों में से एक पर विचार करें। पाठ की शुरुआत में, हमने एक समकोण त्रिभुज में अनुपातों पर प्रमेय को याद किया:
एच 2 \u003d ए 1 * बी 1 ए 2 \u003d ए 1 * सी बी 2 \u003d बी 1 * सी
हम पद के अनुसार अंतिम दो समानताएं जोड़ते हैं:
बी 2 + ए 2 \u003d बी 1 * सी + ए 1 * सी \u003d (बी 1 + ए 1) * सी 1 \u003d सी * सी \u003d सी 2; ए 2 + बी 2 = सी 2
इस प्रमाण की स्पष्ट सादगी के बावजूद, यह सबसे सरल होने से बहुत दूर है। आखिरकार, इसके लिए एक समकोण त्रिभुज में ऊँचाई खींचना और समान त्रिभुजों पर विचार करना आवश्यक था। कृपया इस प्रमाण को अपनी नोटबुक में लिख लें।
V. प्रमेय का कथन और प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय के विपरीत है।
इस प्रमेय का विलोम क्या है? (... यदि शर्त और निष्कर्ष उलट जाते हैं।)
आइए अब पाइथागोरस प्रमेय के विपरीत प्रमेय को सूत्रबद्ध करने का प्रयास करें।
यदि भुजाओं a, b और c वाले त्रिभुज में 2 \u003d a 2 + b 2 के साथ समानता सत्य है, तो यह त्रिभुज समकोण है, और समकोण भुजा c के विपरीत है।
(एक पोस्टर पर प्रतिलोम प्रमेय का प्रमाण)
एबीसी, बीसी = ए,
एसी = बी, बीए = सी।
ए 2 + बी 2 = सी 2
सिद्ध करना:
एबीसी - आयताकार,
सबूत:
एक समकोण त्रिभुज A 1 B 1 C 1 पर विचार करें।
जहाँ C 1 \u003d 90 °, A 1 C 1 \u003d a, A 1 C 1 \u003d b।
फिर, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, बी 1 ए 1 2 \u003d ए 2 + बी 2 \u003d सी 2।
यानी, बी 1 ए 1 \u003d सी ए 1 बी 1 सी 1 \u003d एबीसी एबीसी के तीन तरफ - आयताकार
C = 90°, जिसे सिद्ध करना था।
VI. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन (मौखिक रूप से)।
1. पोस्टर के अनुसार तैयार चित्र के साथ।
|
|
|
चित्र 1: AD ज्ञात कीजिए यदि BD = 8, BDA = 30° है।
चित्र 2: CD ज्ञात कीजिए यदि BE = 5, BAE = 45° है।
चित्र 3: BD ज्ञात कीजिए यदि BC = 17, AD = 16 है।
2. क्या एक त्रिभुज समकोण है यदि इसकी भुजाओं को संख्याओं द्वारा व्यक्त किया जाता है:
5 2 + 6 2 ? 7 2 (नहीं) |
9 2 + 12 2 = 15 2 (हाँ) |
15 2 + 20 2 = 25 2 (हाँ) |
अंतिम दो स्थितियों में संख्याओं के त्रिक को क्या कहा जाता है? (पायथागॉरियन)।
VI. समस्या समाधान (लिखित रूप में)।
सं. 9. एक समबाहु त्रिभुज की भुजा बराबर होती है a. इस त्रिभुज की ऊँचाई, परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या, उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
№ 14. सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज में परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या कर्ण से खींची गई माध्यिका के बराबर और कर्ण के आधे के बराबर होती है।
सातवीं। गृहकार्य।
आइटम 7.1, पीपी 175-177, प्रमेय 7.4 (सामान्यीकृत पाइथागोरस प्रमेय), नंबर 1 (मौखिक), नंबर 2, नंबर 4 का विश्लेषण करें।
आठवीं। सबक परिणाम।
आज के पाठ में आपने क्या नया सीखा? ……………
पाइथागोरस सबसे पहले और सबसे प्रमुख एक दार्शनिक थे। अब मैं आपको उनकी कुछ बातें पढ़ना चाहता हूं, जो हमारे समय में आपके और मेरे लिए प्रासंगिक हैं।
- जीवन पथ पर धूल मत उड़ाओ।
- केवल वही करें जो भविष्य में आपको परेशान न करे और आपको पश्चाताप करने के लिए मजबूर न करे।
- वह कभी न करें जो आप नहीं जानते हैं, लेकिन वह सब कुछ सीखें जो आपको जानने की जरूरत है, और फिर आप एक शांत जीवन जीएंगे।
- जब आप पिछले दिन अपने सभी कार्यों को समझे बिना सोना चाहते हैं तो अपनी आँखें बंद न करें।
- सादगी और विलासिता के बिना जीना सीखें।
पाइथागोरस प्रमेय- यूक्लिडियन ज्यामिति के मूलभूत प्रमेयों में से एक, संबंध स्थापित करना
एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच।
ऐसा माना जाता है कि यह ग्रीक गणितज्ञ पाइथागोरस द्वारा सिद्ध किया गया था, जिनके नाम पर इसका नाम रखा गया है।
पाइथागोरस प्रमेय का ज्यामितीय सूत्रीकरण।
प्रमेय मूल रूप से निम्नानुसार तैयार किया गया था:
एक समकोण त्रिभुज में कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है,
कैथेटर पर बनाया गया।
पाइथागोरस प्रमेय का बीजगणितीय सूत्रीकरण।
एक समकोण त्रिभुज में कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है।
अर्थात्, त्रिभुज के कर्ण की लंबाई को दर्शाते हुए सी, और पैरों की लंबाई एकतथा बी:
दोनों फॉर्मूलेशन पायथागॉरियन प्रमेयसमकक्ष हैं, लेकिन दूसरा सूत्रीकरण अधिक प्राथमिक है, ऐसा नहीं है
क्षेत्र की अवधारणा की आवश्यकता है। यानी दूसरे कथन को क्षेत्र के बारे में कुछ भी जाने बिना सत्यापित किया जा सकता है और
एक समकोण त्रिभुज की केवल भुजाओं की लंबाई मापकर।
उलटा पाइथागोरस प्रमेय।
यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो
त्रिभुज आयताकार है।
या, दूसरे शब्दों में:
धनात्मक संख्याओं के किसी भी तिगुने के लिए एक, बीतथा सी, ऐसा है कि
पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज है एकतथा बीऔर कर्ण सी.
समद्विबाहु त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय।
एक समबाहु त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय।
पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण।
फिलहाल इस प्रमेय के 367 प्रमाण वैज्ञानिक साहित्य में दर्ज हैं। शायद प्रमेय
पाइथागोरस एकमात्र प्रमेय है जिसके पास इतने प्रभावशाली प्रमाण हैं। ऐसी विविधता
ज्यामिति के लिए प्रमेय के मूलभूत महत्व से ही समझाया जा सकता है।
बेशक, वैचारिक रूप से, उन सभी को कम संख्या में वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध:
का प्रमाण क्षेत्र विधि, सिद्धतथा विदेशी साक्ष्य(उदाहरण के लिए,
का उपयोग करके विभेदक समीकरण).
1. पाइथागोरस प्रमेय का समरूप त्रिभुजों के संदर्भ में प्रमाण।
बीजीय सूत्रीकरण का निम्नलिखित प्रमाण निर्मित प्रमाणों में सबसे सरल है:
सीधे स्वयंसिद्धों से। विशेष रूप से, यह एक आकृति के क्षेत्र की अवधारणा का उपयोग नहीं करता है।
होने देना एबीसीएक समकोण त्रिभुज है सी. आइए से ऊंचाई बनाएं सीऔर निरूपित करें
इसकी नींव के माध्यम से एच.
त्रिकोण आकत्रिभुज के समान अबदो कोनों पर सी। इसी तरह, त्रिभुज सीबीएचएक जैसा एबीसी.
संकेतन शुरू करके:
हम पाते हैं:
,
कौन सा मेल खाता है -
मुड़ा हुआ एक 2 और बी 2, हमें मिलता है:
या, जिसे सिद्ध किया जाना था।
2. क्षेत्र विधि द्वारा पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण।
निम्नलिखित प्रमाण, उनकी स्पष्ट सादगी के बावजूद, इतने सरल नहीं हैं। उन सभी को
क्षेत्र के गुणों का उपयोग करें, जिसका प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण से अधिक जटिल है।
- समीकरण के माध्यम से प्रमाण।
चार समान आयताकार व्यवस्थित करें
चित्र में दिखाए अनुसार त्रिभुज
दायी ओर।
भुजाओं वाला चतुर्भुज सी- वर्ग,
चूँकि दो न्यून कोणों का योग 90° होता है, तथा
विकसित कोण 180° है।
पूरी आकृति का क्षेत्रफल एक ओर है,
भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल ( ए+बी), और दूसरी ओर, चार त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग और
क्यू.ई.डी.
3. इनफिनिटिमल विधि द्वारा पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण।
चित्र में दिखाए गए चित्र को ध्यान में रखते हुए, और
पक्ष परिवर्तन देख रहे हैंएक, हम कर सकते हैं
अनंत के लिए निम्नलिखित संबंध लिखिए:
छोटा पार्श्व वृद्धिसाथतथा एक(समानता का उपयोग करते हुए
त्रिभुज):
चरों के पृथक्करण की विधि का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:
दोनों पैरों की वृद्धि के मामले में कर्ण को बदलने के लिए एक अधिक सामान्य अभिव्यक्ति:
इस समीकरण को एकीकृत करने और प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
इस प्रकार, हम वांछित उत्तर पर पहुँचते हैं:
जैसा कि यह देखना आसान है, अंतिम सूत्र में द्विघात निर्भरता रैखिक के कारण प्रकट होती है
त्रिभुज के पक्षों और वृद्धि के बीच आनुपातिकता, जबकि योग स्वतंत्र से संबंधित है
विभिन्न पैरों की वृद्धि से योगदान।
एक सरल प्रमाण प्राप्त किया जा सकता है यदि हम मानते हैं कि पैरों में से एक में वृद्धि का अनुभव नहीं होता है
(इस मामले में, पैर बी) फिर एकीकरण स्थिरांक के लिए हम प्राप्त करते हैं:
पाठ मकसद:
सामान्य शिक्षा:
- छात्रों के सैद्धांतिक ज्ञान की जाँच करें (एक समकोण त्रिभुज के गुण, पाइथागोरस प्रमेय), समस्याओं को हल करने में उनका उपयोग करने की क्षमता;
- एक समस्या की स्थिति पैदा करने के बाद, छात्रों को व्युत्क्रम पाइथागोरस प्रमेय की "खोज" में लाएं।
विकसित होना:
- व्यवहार में सैद्धांतिक ज्ञान को लागू करने के लिए कौशल का विकास;
- टिप्पणियों के दौरान निष्कर्ष निकालने की क्षमता का विकास;
- स्मृति, ध्यान, अवलोकन का विकास:
- गणितीय अवधारणाओं के विकास के इतिहास के तत्वों की शुरूआत के माध्यम से खोजों से भावनात्मक संतुष्टि के माध्यम से सीखने की प्रेरणा का विकास।
शैक्षिक:
- पाइथागोरस के जीवन के अध्ययन के माध्यम से विषय में एक स्थिर रुचि पैदा करने के लिए;
- सहकर्मी समीक्षा के माध्यम से सहपाठियों के ज्ञान के पारस्परिक सहायता और वस्तुनिष्ठ मूल्यांकन को बढ़ावा देना।
पाठ का रूप: कक्षा-पाठ।
शिक्षण योजना:
- आयोजन का समय।
- गृहकार्य की जाँच करना। ज्ञान अद्यतन।
- पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके व्यावहारिक समस्याओं को हल करना।
- नया विषय।
- ज्ञान का प्राथमिक समेकन।
- गृहकार्य।
- सबक परिणाम।
- स्वतंत्र कार्य (पाइथागोरस के कामोत्तेजना के अनुमान के साथ अलग-अलग कार्डों के अनुसार)।
कक्षाओं के दौरान।
आयोजन का समय।
गृहकार्य की जाँच करना। ज्ञान अद्यतन।
शिक्षक:आपने घर पर क्या काम किया?
छात्र:एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाओं को देखते हुए, तीसरी भुजा ज्ञात कीजिए, उत्तरों को एक तालिका के रूप में व्यवस्थित कीजिए। एक समचतुर्भुज और एक आयत के गुणों को दोहराएँ। जिसे शर्त कहा जाता है उसे दोहराएं और प्रमेय का निष्कर्ष क्या है। पाइथागोरस के जीवन और कार्यों पर रिपोर्ट तैयार करें। 12 गांठों से बंधी एक रस्सी लाओ।
शिक्षक:तालिका के अनुसार गृहकार्य के उत्तरों की जाँच करें
(डेटा काले रंग में हैं, प्रतिक्रियाएं लाल रंग में हैं)।
शिक्षक: बोर्ड पर बयान लिखे जाते हैं। यदि आप उनसे संबंधित प्रश्न संख्या के सामने कागज की शीट पर सहमत हैं, तो "+" डालें, यदि आप सहमत नहीं हैं, तो "-" डालें।
बोर्ड पर बयान लिखे जाते हैं।
- कर्ण पैर से बड़ा होता है।
- एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोणों का योग 180 0 होता है।
- पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल एकतथा मेंसूत्र द्वारा गणना एस = एबी / 2.
- पाइथागोरस प्रमेय सभी समद्विबाहु त्रिभुजों के लिए सत्य है।
- एक समकोण त्रिभुज में कोण 30 0 के विपरीत पैर कर्ण के आधे के बराबर होता है।
- पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है।
- पैर का वर्ग कर्ण और दूसरे पैर के वर्गों के अंतर के बराबर है।
- एक त्रिभुज की भुजा अन्य दो भुजाओं के योग के बराबर होती है।
सहकर्मी समीक्षा द्वारा कार्यों की जाँच की जाती है। विवादित बयानों पर चर्चा हो रही है.
सैद्धांतिक प्रश्नों की कुंजी।
छात्र निम्नलिखित प्रणाली के अनुसार एक दूसरे को रेट करते हैं:
8 सही उत्तर "5";
6-7 सही उत्तर "4";
4-5 सही उत्तर "3";
4 से कम सही उत्तर "2"।
शिक्षक:पिछले पाठ में हमने किस बारे में बात की थी?
विद्यार्थी:पाइथागोरस और उनके प्रमेय के बारे में।
शिक्षक:पाइथागोरस प्रमेय तैयार करें। (कई छात्र शब्दों को पढ़ते हैं, इस समय 2-3 छात्र इसे ब्लैकबोर्ड पर साबित करते हैं, 6 छात्र शीट पर पहले डेस्क पर)।
कार्डों पर चुंबकीय बोर्ड पर गणितीय सूत्र लिखे जाते हैं। उन्हें चुनें जो पाइथागोरस प्रमेय के अर्थ को दर्शाते हैं, जहां एक तथा में - कैथेटर, साथ - कर्ण।
| 1) सी 2 \u003d ए 2 + बी 2 | 2) सी \u003d ए + बी | 3) ए 2 \u003d 2 - से 2 . तक |
| 4) सी 2 \u003d ए 2 - 2 . में | 5) 2 \u003d सी 2 - ए 2 . में | 6) ए 2 \u003d सी 2 + 2 . में |
जबकि ब्लैकबोर्ड और क्षेत्र में प्रमेय को साबित करने वाले छात्र तैयार नहीं हैं, पाइथागोरस के जीवन और कार्य पर रिपोर्ट तैयार करने वालों को मंजिल दी जाती है।
मैदान में काम करने वाले स्कूली बच्चे पत्रक सौंपते हैं और ब्लैकबोर्ड पर काम करने वालों के साक्ष्य सुनते हैं।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके व्यावहारिक समस्याओं को हल करना।
शिक्षक:मैं आपको अध्ययन किए गए प्रमेय का उपयोग करके व्यावहारिक कार्य प्रदान करता हूं। हम पहले जंगल का दौरा करेंगे, तूफान के बाद, फिर ग्रामीण इलाकों में।
कार्य 1. तूफान के बाद, स्प्रूस टूट गया। शेष भाग की ऊंचाई 4.2 मीटर है। आधार से गिरे हुए शीर्ष तक की दूरी 5.6 मीटर है। तूफान से पहले स्प्रूस की ऊंचाई पाएं।
टास्क 2. घर की ऊंचाई 4.4 मीटर है घर के चारों ओर लॉन की चौड़ाई 1.4 मीटर है सीढ़ी कितनी लंबी होनी चाहिए ताकि वह लॉन पर कदम न रखे और घर की छत तक न पहुंचे?
नया विषय।
शिक्षक:(संगीत नाटक)अपनी आँखें बंद करो, कुछ मिनटों के लिए हम इतिहास में उतरेंगे। हम आपके साथ हैं प्राचीन मिस्र. यहाँ शिपयार्ड में मिस्रवासी अपने प्रसिद्ध जहाजों का निर्माण करते हैं। लेकिन भूमि सर्वेक्षणकर्ता, वे भूमि के भूखंडों को मापते हैं, जिनकी सीमाएं नील नदी की बाढ़ के बाद बह गई थीं। बिल्डर्स भव्य पिरामिड बनाते हैं जो आज भी हमें अपनी भव्यता से विस्मित करते हैं। इन सभी गतिविधियों में, मिस्रवासियों को समकोण का उपयोग करने की आवश्यकता थी। वे एक दूसरे से समान दूरी पर बंधी हुई 12 गांठों वाली रस्सी का उपयोग करके उन्हें बनाना जानते थे। कोशिश करो और तुम, प्राचीन मिस्रियों की तरह बहस करते हुए, अपनी रस्सियों की मदद से समकोण त्रिभुजों का निर्माण करो। (इस समस्या को हल करते हुए, लोग 4 लोगों के समूह में काम करते हैं। थोड़ी देर बाद, कोई ब्लैकबोर्ड पर टैबलेट पर एक त्रिकोण का निर्माण दिखाता है)।
परिणामी त्रिभुज की भुजाएँ 3, 4 और 5 हैं। यदि आप इन गांठों के बीच एक और गाँठ बाँधते हैं, तो इसकी भुजाएँ 6, 8 और 10 हो जाएँगी। यदि दो प्रत्येक - 9, 12 और 15। ये सभी त्रिभुज आयताकार हैं क्योंकि .
5 2 \u003d 3 2 + 4 2, 10 2 \u003d 6 2 + 8 2, 15 2 \u003d 9 2 + 12 2, आदि।
एक समकोण त्रिभुज होने के लिए त्रिभुज में क्या गुण होना चाहिए? (छात्र स्वयं उलटा पाइथागोरस प्रमेय तैयार करने का प्रयास करते हैं, अंत में, कोई सफल होता है)।
यह प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय से किस प्रकार भिन्न है?
विद्यार्थी:शर्त और निष्कर्ष उलट जाते हैं।
शिक्षक:घर पर, आपने दोहराया कि ऐसे प्रमेयों को क्या कहा जाता है। तो हम अब तक क्या कर रहे हैं?
विद्यार्थी: व्युत्क्रम पाइथागोरस प्रमेय के साथ।
शिक्षक: पाठ के विषय को अपनी नोटबुक में लिख लें। पृष्ठ 127 पर अपनी पाठ्यपुस्तकें खोलें, इस कथन को दोबारा पढ़ें, इसे अपनी नोटबुक में लिखें और प्रमाण का विश्लेषण करें।
(पाठ्यपुस्तक के साथ कई मिनटों के स्वतंत्र कार्य के बाद, यदि वांछित है, तो ब्लैकबोर्ड पर एक व्यक्ति प्रमेय का प्रमाण देता है)।
- 3, 4 और 5 भुजाओं वाले त्रिभुज का नाम क्या है? क्यों?
- पाइथागोरस त्रिभुज किसे कहते हैं?
- आपने अपने गृहकार्य में किन त्रिभुजों के साथ काम किया? और एक देवदार के पेड़ और एक सीढ़ी के साथ समस्याओं में?
ज्ञान का प्राथमिक समेकन
.यह प्रमेय उन समस्याओं को हल करने में मदद करता है जिनमें यह पता लगाना आवश्यक है कि क्या त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं।
कार्य:
1) पता लगाएँ कि क्या एक त्रिभुज समकोण है, यदि उसकी भुजाएँ बराबर हैं:
क) 12.37 और 35; बी) 21, 29 और 24।
2) 6, 8 और 10 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज की ऊँचाइयों की गणना कीजिए।
गृहकार्य
.पृष्ठ 127: व्युत्क्रम पाइथागोरस प्रमेय। नंबर 498 (ए, बी, सी) नंबर 497।
सबक परिणाम।
आपने पाठ में क्या नया सीखा?स्वतंत्र कार्य (व्यक्तिगत कार्ड पर किया गया)।
शिक्षक:घर पर, आपने एक समचतुर्भुज और एक आयत के गुणों को दोहराया। उन्हें सूचीबद्ध करें (कक्षा के साथ बातचीत होती है)। पिछले पाठ में, हमने इस तथ्य के बारे में बात की थी कि पाइथागोरस एक बहुमुखी व्यक्ति थे। वह चिकित्सा, और संगीत, और खगोल विज्ञान में लगे हुए थे, और एक एथलीट भी थे और ओलंपिक खेलों में भाग लिया था। पाइथागोरस एक दार्शनिक भी थे। उनके कई सूत्र आज भी हमारे लिए प्रासंगिक हैं। अब आप अपना काम खुद करेंगे। प्रत्येक कार्य के लिए, कई उत्तर दिए गए हैं, जिसके आगे पाइथागोरस सूत्र के अंश लिखे गए हैं। आपका काम सभी कार्यों को हल करना है, प्राप्त अंशों से एक बयान देना और इसे लिखना है।