Сенс похідної функції. Похідна функції
Сергій Никифоров
Якщо похідна функції знакопостійна на інтервалі, а сама функція безперервна з його межах, то граничні точки приєднуються як до проміжків зростання, і до проміжків спадання, що цілком відповідає визначенню зростаючих і спадних функцій.
Фаріт Ямаєв 26.10.2016 18:50
Добрий день. Як (на якому підставі) можна стверджувати, що у точці, де похідна дорівнює нулю, функція зростає. Наведіть аргументи. Інакше, це просто чийсь каприз. За якою теоремою? А також доказ. Дякую.
Служба підтримки
Значення похідної у точці немає прямого відношення до зростання функції на проміжку. Розгляньте, наприклад, функції – всі вони зростають на відрізку
Владлен Писарєв 02.11.2016 22:21
Якщо функція зростає на інтервалі (а;b) і визначена і безперервна в точках а та b, вона зростає на відрізку . Тобто. точка x=2 входить у цей проміжок.
Хоча, зазвичай зростання і спадання розглядається не так на відрізку, але в інтервалі.
Але в самій точці x = 2 функція має локальний мінімум. І як пояснювати дітям, що коли вони шукають точки зростання (зменшення), то точки локального екстремуму не вважаємо, а в проміжки зростання (зменшення) – входять.
Враховуючи, що перша частина ЄДІ для " середньої групидитячого садка", то напевно такі нюанси-перебір.
Окремо, дякую за "Вирішу ЄДІ" всім співробітникам-відмінний посібник.
Сергій Никифоров
Просте пояснення можна отримати, якщо відштовхуватися від визначення зростаючої/зменшувальної функції. Нагадаю, що звучить воно так: функція називається зростаючою/зменшується на проміжку, якщо більшому аргументу функції відповідає більше/менше значення функції. Таке визначення ніяк не використовує поняття похідної, тому питань про точки, де похідна звертається в нуль, виникнути не може.
Ірина Ішмакова 20.11.2017 11:46
Добрий день. Тут у коментарях я бачу переконання, що кордони треба включати. Допустимо, я з цим погоджуся. Але подивіться, будь ласка, ваше рішення до задачі 7089. Там за вказівкою проміжків зростання кордону не включаються. І це впливає відповідь. Тобто. вирішення завдань 6429 та 7089 суперечать один одному. Проясніть, будь ласка, цю ситуацію.
Олександр Іванов
У завданнях 6429 і 7089 різні питання.
В одному проміжку зростання, а в іншому проміжку з позитивною похідною.
Суперечності немає.
Екстремуми входять у проміжки зростання і спадання, але точки, у яких похідна дорівнює нулю, не входять у проміжки, у яких похідна позитивна.
A Z 28.01.2019 19:09
Колеги є поняття зростання в точці
(див. Фіхтенгольц наприклад)
і ваше розуміння зростання в точці x = 2 суперечить класичному визначенню.
Зростання і спад це процес і хотілося б дотримуватися цього принципу.
У будь-якому інтервалі, який містить точку x=2, функція не є зростаючою. Тому включення даної точки x = 2 процес особливий.
Зазвичай, щоб уникнути плутанини про включення кінців інтервалів, говорять окремо.
Олександр Іванов
Функція y=f(x) називається зростаючою на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції.
У точці х=2 функція диференційована, але в інтервалі (2; 6) похідна позитивна, отже, на проміжку її значення суворо позитивні, отже функція цьому ділянці лише зростає, тому значення функції лівому кінці x = −3 менше, ніж її значення правому кінці x = −2.
Відповідь: φ 2 (−3) φ 2 (−2)
2) Користуючись графіком первісної Φ 2 (x ) (у нашому випадку це синій графік), визначте яке з двох значень функції більше φ 2 (−1) або φ 2 (4)?
За графіком першорядної видно, що точка x = −1 знаходиться на ділянці зростання, отже значення відповідної похідної позитивно. Крапка x = 4 знаходиться на ділянці спадання та значення відповідної похідної негативно. Оскільки позитивне значення більше від'ємного, робимо висновок - значення невідомої функції, яка і є похідною, у точці 4 менше, ніж у точці −1.
Відповідь: φ 2 (−1) > φ 2 (4)
Подібних питань щодо відсутнього графіку можна поставити багато, що зумовлює велику різноманітність завдань із короткою відповіддю, побудованих за такою самою схемою. Спробуйте вирішити деякі з них.
Завдання визначення характеристик похідної за графіком функції.
Малюнок 1.
Малюнок 2.
Завдання 1
y = f (x ), визначеної на інтервалі (-10,5; 19). Визначте кількість цілих точок, де похідна функції позитивна.
Похідна функції позитивна тих ділянках, де функція зростає. На малюнку видно, що це проміжки (−10,5;−7,6), (−1;8,2) та (15,7;19). Перелічимо цілі точки всередині цих інтервалів: "-10", "-9", "-8", "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8", "16", "17", "18". Усього 15 точок.
Відповідь: 15
Зауваження.
1. Коли в задачах про графіки функцій вимагають назвати "точки", як правило, мають на увазі лише значення аргументу x
, Які є абсцисами відповідних точок, розташованих на графіку. Ординати цих точок - значення функції, є залежними і може бути легко обчислені за необхідності.
2. При перерахуванні точок ми не враховували краю інтервалів, тому що функція в цих точках не зростає і не зменшується, а "розгортається". Похідна в таких точках не позитивна і негативна, вона дорівнює нулю, тому вони називаються стаціонарними точками. Крім того, ми не розглядаємо тут межі області визначення, тому що за умови сказано, що це інтервал.
Завдання 2
На малюнку 1 зображено графік функції y = f (x ), визначеної на інтервалі (-10,5; 19). Визначте кількість цілих точок, у яких похідна функції f " (x ) Негативна.
Похідна функції негативна тих ділянках, де функція убуває. На малюнку видно, що це проміжки (−7,6;−1) та (8,2;15,7). Цілі точки всередині цих інтервалів: -7, -6, -5, -4, -3, -2, 9, 10, 11, 12 ", "13", "14", "15". Усього 13 точок.
Відповідь: 13
Див. зауваження до попереднього завдання.
Для вирішення наступних завдань слід згадати ще одне визначення.
Точки максимуму та мінімуму функції поєднуються загальною назвою - точки екстремуму .
У цих точках похідна функції або дорівнює нулю, або немає ( необхідна умова екстремуму).
Однак необхідна умова – це ознака, але не гарантія існування екстремуму функції. Достатньою умовою екстремумує зміна знака похідної: якщо похідна в точці змінює знак з "+" на "-", це точка максимуму функції; якщо похідна в точці змінює знак з "-" на "+", це точка мінімуму функції; якщо в точці похідна функції дорівнює нулю, або не існує, але знак похідної при переході через цю точку не змінюється протилежний, то зазначена точка не є точкою екстремуму функції. Це може бути точка перегину, точка розриву або точка зламу графіка функції.
Завдання 3
На малюнку 1 зображено графік функції y = f (x ), визначеної на інтервалі (-10,5; 19). Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції паралельна до прямої y = 6 чи збігається з нею.
Згадаймо, що рівняння прямої має вигляд y = kx + b , де k- Коефіцієнт нахилу цієї прямої до осі Ox. У нашому випадку k= 0, тобто. пряма y = 6 не нахилена, а паралельна до осі Ox. Отже шукані дотичні також повинні бути паралельні осі Oxі також повинні мати коефіцієнт нахилу 0. Такою властивістю дотичні мають у точках екстремумів функцій. Тому для відповіді на питання потрібно просто порахувати всі точки екстремуму на графіку. Тут їх 4 – дві точки максимуму та дві точки мінімуму.
Відповідь: 4
Завдання 4
Функції y = f (x ), визначеної на інтервалі (-11; 23). Знайдіть суму точок екстремуму функції на відрізку.
На вказаному відрізку бачимо 2 точки екстремуму. Максимум функції досягається у точці x
1 = 4, мінімум у точці x
2 = 8.
x
1 + x
2 = 4 + 8 = 12.
Відповідь: 12
Завдання 5
На малюнку 1 зображено графік функції y = f (x ), визначеної на інтервалі (-10,5; 19). Знайдіть кількість точок, у яких похідна функції f " (x ) дорівнює 0.
Похідна функції дорівнює нулю в точках екстремуму, яких на графіку видно 4:
2 точки максимуму та 2 точки мінімуму.
Відповідь: 4
Завдання визначення характеристик функції за графіком її похідної.
Малюнок 1.
Малюнок 2.
Завдання 6
На малюнку 2 зображено графік f " (x ) - похідної функції f (x ), визначеної на інтервалі (-11; 23). У якій точці відрізка [−6;2] функція f (x ) набуває найбільшого значення.
На зазначеному відрізку похідна ніде була позитивної, отже функція не зростала. Вона убувала чи проходила через стаціонарні точки. Таким чином, найбільше значення функція досягала на лівій межі відрізка: x = −6.
Відповідь: −6
Примітка: За графіком похідної видно, що у відрізку [−6;2] вона дорівнює нулю тричі: у точках x = −6, x = −2, x = 2. Але в точці x = −2 вона змінювала знака, отже у цій точці було бути екстремуму функції. Швидше за все, там була точка перегину графіка вихідної функції.
Завдання 7
На малюнку 2 зображено графік f " (x ) - похідної функції f (x ), визначеної на інтервалі (-11; 23). У якій точці відрізка функція набуває найменшого значення.
На відрізку похідна суворо позитивна, отже функція цьому ділянці лише зростала. Таким чином, найменшого значення функція досягала на лівій межі відрізка: x = 3.
Відповідь: 3
Завдання 8
На малюнку 2 зображено графік f " (x ) - похідної функції f (x ), визначеної на інтервалі (-11; 23). Знайдіть кількість точок максимуму функції f (x ), що належать відрізку [-5; 10].
Відповідно до необхідної умови екстремуму максимум функції може бутиу точках, де її похідна дорівнює нулю. На заданому відрізку це точки: x = −2, x = 2, x = 6, x = 10. Але згідно з достатньою умовою він точно будетільки в тих, де знак похідної змінюється з "+" на "−". На графіку похідної ми бачимо, що з перелічених точок такою є лише точка x = 6.
Відповідь: 1
Завдання 9
На малюнку 2 зображено графік f " (x ) - похідної функції f (x ), визначеної на інтервалі (-11; 23). Знайдіть кількість точок екстремуму функції f (x ), що належать відрізку .
Екстремуми функції можуть бути в тих точках, де її похідна дорівнює 0. На заданому відрізку похідної графіка ми бачимо 5 таких точок: x = 2, x = 6, x = 10, x = 14, x = 18. Але в точці x = 14 похідна не змінила символ, отже її треба виключити з розгляду. Таким чином залишаються 4 точки.
Відповідь: 4
Завдання 10
На малюнку 1 зображено графік f " (x ) - похідної функції f (x ), визначеної на інтервалі (-10,5; 19). Знайдіть проміжки зростання функції f (x ). У відповіді вкажіть довжину найбільшого їх.
Проміжки зростання функції збігаються з проміжками похідної позитивності. На графіку бачимо їх три - (−9;−7), (4;12), (18;19). Найдовший із них другий. Його довжина l = 12 − 4 = 8.
Відповідь: 8
Завдання 11
На малюнку 2 зображено графік f " (x ) - похідної функції f (x ), визначеної на інтервалі (-11; 23). Знайдіть кількість точок, у яких стосується графіка функції f (x ) паралельна прямий y = −2x − 11 або збігається з нею.
Кутовий коефіцієнт (він тангенс кута нахилу) заданої прямої k = −2. Нас цікавлять паралельні чи збігаються дотичні, тобто. прямі з таким самим нахилом. Виходячи з геометричного сенсу похідної - кутовий коефіцієнт дотичної в точці графіка функції, що розглядається, перераховуємо точки, в яких похідна дорівнює −2. На малюнку 2 таких точок 9. Їх зручно вважати за перетинами графіка та лінії координатної сітки, що проходить через значення −2 на осі Ой.
Відповідь: 9
Як бачите, по тому самому графіку можна поставити найрізноманітніші питання щодо поведінки функції та її похідної. Також те саме питання можна віднести до графіків різних функцій. Будьте уважні при вирішенні цього завдання на іспиті, і воно здасться Вам дуже легким. Інші види завдань цього завдання - на геометричний зміст первісної - будуть розглянуті в іншому розділі.
Дорогі друзі! До групи завдань, пов'язаних з похідною, входять завдання — в умові дано графік функції, кілька точок на цьому графіку і стоїть питання:
У якій точці значення похідної найбільше (найменше)?
Коротко повторимо:
Похідна в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної проходить черезцю точку графіка.
Уголовний коефіцієнт дотичної у свою чергу дорівнює тангенсу кута нахилу цієї дотичної.
*Мається на увазі кут між дотичною та віссю абсцис.
1. На інтервалах зростання функції похідна має позитивне значення.
2. На інтервалах її спадання похідна має негативне значення.
Розглянемо наступний ескіз:
У точках 1,2,4 похідна функції має негативне значення, оскільки ці точки належать інтервалам спадання.
У точках 3,5,6 похідна функції має позитивне значення, оскільки ці точки належать інтервалам зростання.
Як бачимо, зі значенням похідної все ясно, тобто визначити який вона має знак (позитивний чи негативний) у певній точці графіка зовсім нескладно.
При чому, якщо ми подумки побудуємо дотичні в цих точках, то побачимо, що прямі кути, що проходять через точки 3, 5 і 6 утворюють з віссю оХ, що лежать в межах від 0 до 90 про, а прямі проходять через точки 1, 2 і 4 утворюють з віссю оХ кути в межах від 90 до 180 о.
*Взаємозв'язок зрозумілий: дотичні проходять через точки належать інтервалам зростання функції утворюють з віссю оХ гострі кути, дотичні проходять через точки належать інтервалам зменшення функції утворюють з віссю оХ тупі кути.
Тепер важливе питання!
А як змінюється значення похідної? Адже дотична у різних точках графіка безперервної функції утворює різні кути, залежно від цього, через яку точку графіка вона проходить.
*Або, кажучи простою мовою, дотична розташована як би «горизонтальніше» або «вертикальніше». Подивіться:
Прямі утворюють з віссю оХ кути в межах від 0 до 90 о
Прямі утворюють з віссю оХ кути в межах від 90 до 180 о
Тому, якщо стоятимуть питання:
— в якій із точок графіка значення похідної має найменше значення?
— у якій із точок графіка значення похідної має найбільше значення?
то для відповіді необхідно розуміти, як змінюється значення тангенсу кута дотичної в межах від 0 до 180 о.
*Як уже сказано, значення похідної функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до осі оХ.
Значення тангенсу змінюється так:
При зміні кута нахилу прямої від 0 до 90 про значення тангенса, а значить і похідної, змінюється відповідно від 0 до +∞;
При зміні кута нахилу прямий від 90 до 180 значення тангенса, а значить і похідної, змінюється відповідно –∞ до 0.
Наочно це видно за графіком функції тангенсу:
Говорячи простою мовою:
При куті нахилу дотичної від 0 до 90 про
Чим він ближче до 0о, тим більше значення похідної буде близько до нуля (з позитивного боку).
Чим кут ближче до 90о, тим більше значення похідної буде збільшуватися до +∞.
При куті нахилу дотичної від 90 до 180 про
Чим він ближчий до 90 про, тим більше значення похідної зменшуватиметься до –∞.
Чим кут буде ближче до 180 про, тим більше значення похідної буде близько до нуля (з негативного боку).
317543. На малюнку зображено графік функції y = f(x) та відзначені точки–2, –1, 1, 2. У якій із цих точок значення похідної найбільше? У відповіді вкажіть цю точку.
Маємо чотири точки: дві з них належать інтервалам на яких функція зменшується (це точки -1 і 1) і два інтервалам на яких функція зростає (це точки -2 і 2).
Можемо відразу зробити висновок у тому, що у точках –1 і 1 похідна має негативне значення, у точках –2 і 2 вона має позитивне значення. Отже в даному випадку необхідно проаналізувати точки -2 і 2 і визначити в якому значення буде найбільшим. Побудуємо дотичні, що проходять через зазначені точки:
Значення тангенсу кута між прямою a і віссю абсцис буде більшим за значення тангенса кута між прямою b і цією віссю. Це означає, що значення похідної у точці –2 буде найбільшим.
Відповімо на таке запитання: у якій із точок –2, –1, 1 чи 2 значення похідної є найбільшим негативним? У відповіді вкажіть цю точку.
Похідна матиме негативне значення в точках, що належать інтервалам спадання, тому розглянемо точки -2 і 1. Побудуємо дотичні проходять через них:
Бачимо, що тупий кут між прямою b і віссю оХ знаходиться «ближче» до 180про , Тому його тангенс буде більше тангенса кута, утвореного прямою а і віссю ОХ.
Таким чином, у точці х = 1 значення похідної буде найбільшим негативним.
317544. На малюнку зображено графік функції y = f(x) та відзначені точки–2, –1, 1, 4. У якій із цих точок значення похідної найменше? У відповіді вкажіть цю точку.
Маємо чотири точки: дві з них належать інтервалам, на яких функція зменшується (це точки –1 та 4) та дві інтервалам, на яких функція зростає (це точки –2 та 1).
Можемо відразу зробити висновок у тому, що у точках –1 і 4 похідна має негативне значення, у точках –2 і 1 вона має позитивне значення. Отже, у разі необхідно проаналізувати точки –1 і 4 і визначити – у якому їх значенні буде найменшим. Побудуємо дотичні, що проходять через зазначені точки:
Значення тангенсу кута між прямою a і віссю абсцис буде більшим за значення тангенса кута між прямою b і цією віссю. Це означає, що значення похідної у точці х = 4 буде найменшим.
Відповідь: 4
Сподіваюся, що «не перенавантажив» вас кількістю написаного. Насправді все дуже просто, варто тільки зрозуміти властивості похідної, її геометричний зміст і як змінюється значення тангенса кута від 0 до 180 о.
1. Спочатку визначте знаки похідної в даних точках (+ або -) та оберіть необхідні точки (залежно від поставленого питання).
2. Побудуйте дотичні у цих точках.
3. Користуючись графіком тангесоїди, схематично позначте кути та відобразітьА Олександр.
PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.
Показуючий зв'язок похідної знака з характером монотонності функції.
Будь ласка, будьте гранично уважні у наступному. Дивіться, графік ЧОГО вам дано! Функції чи її похідної
Якщо дано графік похідної, то цікавитимуть нас лише знаки функції та нулі. Жодні «пагорби» та «впадини» не цікавлять нас у принципі!
Завдання 1.
На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Визначте кількість цілих точок, де похідна функції негативна.
Рішення:
На малюнку виділені кольором області зменшення функції :
У ці області зменшення функції потрапляє 4 цілі значення.
Завдання 2.
На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції паралельна до прямої або збігається з нею.
Рішення:
Раз дотична до графіка функції паралельна (або збігається) прямий (або, що те саме, ), що має кутовий коефіцієнт, Що дорівнює нулю, то і дотична має кутовий коефіцієнт .
Це своє чергу означає, що дотична паралельна осі , оскільки кутовий коефіцієнт є тангенс кута нахилу дотичної до осі .
Тому ми знаходимо на графіку точки екстремуму (точки максимуму і мінімуму), - саме в них дотичні до графіка функції будуть паралельні осі.
Таких точок – 4.
Завдання 3.
На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції паралельна до прямої або збігається з нею.
Рішення:
Якщо дотична до графіку функції паралельна (або збігається) прямий, що має кутовий коефіцієнт, то і дотична має кутовий коефіцієнт.
Це своє чергу означає, що у точках торкання.
Тому дивимося, скільки точок на графіку мають ординату , що дорівнює .
Як бачимо, таких точок – чотири.
Завдання 4.
На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть кількість точок, у яких похідна функції дорівнює 0.
Рішення:
Похідна дорівнює нулю в точках екстремуму. У нас їх 4:
Завдання 5.
На малюнку зображено графік функції та одинадцять точок на осі абсцис:. У скільки з цих точок похідна функції негативна?
Рішення:
На проміжках зменшення функції її похідна набуває негативних значень. А зменшується функція в точках. Таких точок 4.
Завдання 6.
На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть суму точок екстремуму функції.
Рішення:
Крапки екстремуму- Це точки максимуму (-3, -1, 1) і точки мінімуму (-2, 0, 3).
Сума точок екстремуму: -3-1+1-2+0+3=-2.
Завдання 7.
На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть проміжки зростання функції. У відповіді вкажіть суму цілих точок, що входять до цих проміжків.
Рішення:
На малюнку виділено проміжки, у яких похідна функції неотрицательна.
На малому проміжку зростання цілих точок немає, на проміжку зростання чотири цілі значення: , , і .
Їхня сума:
Завдання 8.
На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть проміжки зростання функції. У відповіді вкажіть довжину найбільшого їх.
Рішення:
На малюнку виділені кольором всі проміжки, у яких похідна позитивна, отже сама функція зростає цих проміжках.
Довжина найбільшого їх – 6.
Завдання 9.
На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. У якій точці відрізка набуває найбільшого значення.
Рішення:
Дивимося як поводиться графік на відрізку, а саме нас цікавить тільки знак похідної .
Знак похідної на - мінус, так як графік на цьому відрізку нижче осі.