Головна→Здоров'я дитини→Електрична енергія системи зарядів. Електрична енергія системи зарядів Робота електричного поля з переміщення заряду

Електрична енергія системи зарядів. Електрична енергія системи зарядів Робота електричного поля з переміщення заряду

1. Спочатку розглянемо систему, що складається із двох точкових зарядів 1 та 2.Знайдемо суму алгебри елементарних робіт сил f 1 і F 2 , з якими ці заряди взаємодіють. Нехай у деякій K-системі відліку за час dtзаряди здійснили переміщення dl 1 та dl 2 . Тоді робота цих сил A 1,2 = F 1 dl 1 + F 2 dl 2 . Враховуючи, що F 2 = -F l(За третім законом Ньютона): δА 1,2 = F 1 (dl 1 - dl 2). Величина у дужках - це переміщення заряду. щодо заряду 2. Точніше, це переміщення заряду 1 в K"-системі відліку, жорстко пов'язаної із зарядом 2 і що переміщається разом із ним поступально стосовно вихідної K-системе. Дійсно, переміщення dl 1 заряду 1 в K-системі може бути представлено як переміщення dl 2 K"-системи плюс переміщення dl 1 заряду 1 щодо цієї K"-системи: dl 1 = dl 2 + dl 1 . Звідси dl 1 -dl 2 = dl` 1 і δА 1,2 = F 1 dl` 1 . відліку Сила F 1 діє на заряд 1 з боку заряду 2, консервативна (як сила центральна). пари зарядів: δА 1,2 = -dW 1,2 де W12 - величина, яка залежить тільки від відстані між даними зарядами.

2. Перейдемо до системи з трьох точкових зарядів (отриманий цього випадку результат легко узагальнити систему з довільного числа зарядів). Робота, яку здійснюють усі сили взаємодії при елементарних переміщеннях всіх зарядів, може бути представлена як сума робіт усіх трьох пар взаємодій, тобто δА = δA 1,2 + δA 1,3 + δА 2,3 . Але кожної пари взаємодій δA i,k = -dW ik , тому δА = -d(W 12 + W 13 +W 23)=-dW, де W - енергія взаємодії даної системи зарядів, W = W 12 + W 13 + W 23 . Кожна складова цієї суми залежить від відстані між відповідними зарядами, тому енергія W даної системи зарядів є функцією її конфігурації. Подібні міркування справедливі і для системи з будь-якої кількості зарядів. Отже, можна стверджувати, що кожній конфігурації довільної системи зарядів притаманне своє значення енергії W і δА = -dW.

Енергія взаємодії. Розглянемо систему із трьох точкових зарядів, на яку показано, що W = W 12 + W 13 + W 23 . Уявімо кожне доданок W ik у симетричному вигляді: W ik = (W ik + W ki)/2, оскільки W ik = W ki . Тоді W = (W 12 + W 21 + W 13 + W 3l + W 23 + W 32)/2. Згрупуємо члени: W=[(W 12 +W 13) + (W 21 +W 23) + (W 3l +W 32)]/2. Кожна сума в круглих дужках - це енергія Wi взаємодії i-го заряду з іншими зарядами. Тому:

Маючи на увазі, що W i = q i i, де q i - i-й заряд системи; φ i -потенціал, створюваний у місці знаходження i-ro заряду всіма іншими зарядами системи, отримаємо остаточне вираження енергії взаємодії системи точкових зарядів:

Повна енергія взаємодії. Якщо заряди розподілені безперервно, то, розкладаючи систему зарядів на сукупність елементарних зарядів dq = ρdV і переходячи від підсумовування (4.3) до інтегрування, отримуємо

(4.4), де - потенціал, створюваний всіма зарядами системи в елементі об'ємом dV. Аналогічний вираз можна записати для розподілу зарядів поверхнею, замінивши ρ на σ і dV на dS. Нехай система складається з двох куль, що мають заряди q1 і q2. Відстань між кулями значно більша від їх розмірів тому заряди q l і q 2 можна вважати точковими. Знайти енергію W цієї системи за допомогою обох формул. Згідно з формулою (4.3), де φ 1 - потенціал, створюваний зарядом q 2у місці знаходження заряду q 1 ,аналогічний сенс має потенціал φ 2 . Відповідно до формули (4.4) потрібно розбити заряд кожної кульки на нескінченно малі елементи ρdV і кожен з них помножити на потенціал φ, створюваний не тільки зарядами іншої кульки, але й елементами цього заряду кульки. Тоді: W = W 1 + W 2 + W 12 (4.5), де W 1 - енергія взаємодії один з одним елементів заряду першої кульки; W 2 -те саме, але для другої кульки; W 12- енергія взаємодії елементів заряду першої кульки з елементами заряду другої кульки. Енергії W 1і W 2 називають власними енергіями зарядів q 1 і q 2 a W 12 -енергією взаємодії заряду q 1 з зарядом q 2 .

Енергія відокремленого провідника. Нехай провідник має заряд qта потенціал φ. Оскільки значення у всіх точках, де є заряд, однаково, можна винести з-під знака інтеграла у формулі (4.4). Тоді інтеграл, що залишився, є не що інше, як заряд qна провіднику, і W=qφ/2=Cφ 2 /2=q 2 /2C (4.6).(з урахуванням те, що З = q/φ).

Енергія конденсатора. Нехай qі - заряд і потенціал позитивно зарядженої обкладки конденсатора. Згідно з формулою (4.4) інтеграл можна розбити на дві частини - для однієї та іншої обкладок. Тоді

W = (q + φ + -q _ φ_) / 2. Т. до. q_ = -q + , то W = q + (φ + -φ_) / 2 = qU / 2, де q = q + - Заряд конденсатора, U- Різниця потенціалів на обкладках. С = q / U => W = qU / 2 = CU 2 / 2 = q 2 / 2C (4.7). Розглянемо процес зарядки конденсатора як перенесення заряду малими порціями dq" з однієї обкладки на іншу. Елементарна робота, виконана нами при цьому проти сил поля, запишеться як дА=U'dq'=(q'/C)dq', де U' - різниця потенціалів між обкладками в момент, коли переноситься чергова порція заряду dq". Проінтегрувавши цей вираз по q"від 0 до q,отримаємо А = q 2 /2C, що збігається з виразом для повної енергії конденсатора. Крім того, отриманий вираз для роботи А справедливий і в тому випадку, коли між обкладками конденсатора є довільний діелектрик. Це стосується і формул (4.6).

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Електрична енергія системи зарядів

На сайті сайт читайте: "електрична енергія системи зарядів"

Якщо Вам потрібний додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Енергетичний підхід до взаємодії. Енергетичний підхід до взаємодії електричних зарядів є, як ми побачимо, дуже плідним за своїми практичними застосуваннями, а крім того, відкриває можливість по-іншому поглянути і на саме електричне поле як фізичну реальність.

Насамперед ми з'ясуємо, як можна дійти поняття про енергію взаємодії системи зарядів.

1. Спочатку розглянемо систему з двох точкових зарядів 1 і 2. Знайдемо суму алгебри елементарних робіт сил F, і F2, з якими ці заряди взаємодіють. Нехай в 1гекоторій К-системі відліку за час cU заряди здійснили переміщення dl, і dl 2. Тоді відповідна робота цих сил

6Л, 2 = F, dl + F2 dl2.

Враховуючи, що F2 = - F (за третім законом Ньютона), перепишемо попередній вираз: Mlj, = F, (dl1-dy.

Величина в дужках - це переміщення заряду 1 щодо заряду 2. Точніше, це є переміщення заряду/в /("-системі відліку, жорстко пов'язаної з зарядом 2 і що переміщається разом з ним поступально по відношенню до вихідної /(-системі. Дійсно, переміщення dl, заряду 1 в /(-системі може бути представлено як переміщення dl2 /("-системи плюс переміщення dl, заряду / щодо цієї /("-системи: dl, = dl2+dl,. Звідси dl, - dl2 = dl") , і

Отже, виявляється, що сума елементарних робіт у довільній /(-системі відліку завжди дорівнює елементарній роботі, яку здійснює сила, що діє на один заряд, в системі відліку, де інший заряд лежить. Інакше кажучи, робота 6Л12 не залежить від вибору вихідної /( -Системи відліку

Сила F„, що діє на заряд / з боку заряду 2, консервативна (як сила центральна). Тому робота даної сили на переміщенні dl, може бути представлена як спад потенційної енергії заряду 1 в полі заряду 2 або як зменшення потенційної енергії взаємодії пари зарядів, що розглядається:

де 2 - величина, яка залежить лише від відстані між цими зарядами.

2. Тепер перейдемо до системи з трьох точкових зарядів (отриманий для цього випадку результат легко узагальнити на систему з довільного числа зарядів). Робота, яку здійснюють всі сили взаємодії при елементарних переміщеннях всіх зарядів, може бути представлена як сума робіт усіх трьох пар взаємодій, тобто 6Л = 6Л (2 + 6Л, 3 + 6Л 2 3. Але для кожної пари взаємодій, як тільки що було показано, 6Л ik = - d Wik, тому

де W - енергія взаємодії даної системи зарядів,

W «= wa + Wtз + w23.

Кожен доданок цієї суми залежить від відстані між відповідними зарядами, тому енергія W

цієї системи зарядів є функція її конфігурації.

Такі міркування, очевидно, справедливі й у системи з будь-якої кількості зарядів. Отже, можна стверджувати, що кожній конфігурації довільної системи зарядів властиво своє значення енергії W і робота всіх сил взаємодії при зміні цієї конфігурації дорівнює втраті енергії W:

бл = -аг. (4.1)

Енергія взаємодії. Знайдемо вираз для енергії W. Спочатку розглянемо знову систему з трьох точкових зарядів, на яку ми показали, що W = - W12+ ^13+ ^23- Перетворимо цю суму в такий спосіб. Представимо кожне доданок Wik у симетричному вигляді: Wik= ]/2(Wlk+ Wk), оскільки Wik=Wk, Тоді

Згрупуємо члени з однаковими першими індексами:

Кожна сума в круглих дужках - це енергія Wt взаємодії пана заряду з іншими зарядами. Тому останній вираз можна переписати так:

Узагальнення довільного

отриманого виразу систему з числа зарядів очевидно, бо ясно, що проведені міркування зовсім залежить від кількості зарядів, складових систему. Отже, енергія взаємодії системи точкових зарядів

Маючи на увазі, що Wt =<7,9, где qt - i-й заряд системы; ф,- потенциал, создаваемый в месте нахождения г-го заряда всеми остальными зарядами системы, получим окончательное выражение для энергии взаимодействия системы точечных зарядов:

приклад. Чотири однакові точкові заряди q знаходяться у вершинах тетраедра з ребром а (рис. 4.1). Знайти енергію взаємодії зарядів цієї системи.

Енергія взаємодії кожної пари набоїв тут однакова і дорівнює = q2/Але0а. Усього таких взаємодіючих пар, як видно з малюнка, шість, тому енергія взаємодії всіх точкових зарядів даної системи

W = 6 №, = 6<72/4яе0а.

Інший підхід до вирішення цього питання ґрунтується на використанні формули (4.3). Потенціал ф у місці знаходження одного із зарядів, обумовлений полем решти всіх зарядів, дорівнює ф = 3<7/4яе0а. Поэтому

Повна енергія взаємодії. Якщо заряди розподілені безперервно, то, розкладаючи систему зарядів на сукупність елементарних зарядів dq = р dV і переходячи від підсумовування (4.3) до інтегрування, отримуємо

де ф - потенціал, створюваний усіма зарядами системи елементі обсягом dV. Аналогічний вираз можна записати для розподілу зарядів, наприклад, поверхнею; для цього достатньо у формулі (4.4) замінити р на і dV на dS.

Можна помилково подумати (і це часто призводить до непорозумінь), що вираз (4.4) це лише видозмінений вираз (4.3), що відповідає заміні уявлення про точкові заряди уявленням про безперервно розподілений заряд. Насправді це не так - обидва вирази відрізняються за змістом. Походження цієї відмінності - у різному сенсі потенціалу ф, що входить в обидва вирази, що краще пояснити на наступному прикладі.

Нехай система складається з двох кульок, що мають заряди д, і q2" Відстань між кульками значно більша від їх розмірів, тому заряди ql і q2 можна вважати точковими. Знайдемо енергію W даної системи за допомогою обох формул.

Згідно з формулою (4.3)

W = "AUitPi +2> де ф[ - потенціал, створюваний зарядом q2 в місці

знаходження заряду аналогічний сенс має

та потенціал ф2.

Згідно з формулою (4.4) ми повинні розбити заряд кожної кульки на нескінченно малі елементи р AV і кожен з них помножити на потенціал ф, створюваний не тільки зарядами іншої кульки, але і елементами заряду цієї кульки. Зрозуміло, що результат буде зовсім іншим, а саме:

W = Wt + W2 + Wt2 (4.5)

де Wt - енергія взаємодії один з одним елементів заряду першої кульки; W2 - те саме, але для другої кульки; Wi2 - енергія взаємодії елементів заряду першої кульки з елементами заряду другої кульки. Енергії W і W2 називають власними енергіями зарядів qx і q2, a W12-енергією взаємодії заряду із зарядом q2.

Отже, бачимо, що розрахунок енергії W за формулою (4.3) дає лише Wl2, а розрахунок за формулою (4.4)-повну енергію взаємодії: крім W(2 ще й власні енергії IF, і W2.) Ігнорування цієї обставини найчастіше є джерелом грубих помилок.

До цього питання ми ще повернемося до § 4.4, а зараз отримаємо за допомогою формули (4.4) кілька важливих результатів.

Робота поля під час поляризації діелектрика.

Енергія електричного поля.

Як і будь-яка матерія, електричне поле має енергію. Енергія є функцією стану, а стан поля визначається напруженістю. Звідки випливає, що енергія електричного поля є однозначною функцією напруженості. Так як, необхідно ввести уявлення про концентрацію енергії в полі. Мірою концентрації енергії поля є її щільність:

Знайдемо вираз для. Розглянемо при цьому поле плоского конденсатора, вважаючи його всюди однорідним. Електричне поле у будь-якому конденсаторі виникає у його зарядки, який можна як перенесення зарядів від однієї пластини до інший (див. малюнок). Елементарна робота, витрачена на перенесення заряду дорівнює:

де, а повна робота:

яка йде на збільшення енергії поля:

Враховуючи, що (електричного поля не було), для енергії електричного поля конденсатора отримуємо:

У разі плоского конденсатора:

оскільки - обсяг конденсатора, рівний обсягу поля. Таким чином, щільність енергії електричного поля дорівнює:

Ця формула справедлива лише у разі ізотропного діелектрика.

Щільність енергії електричного поля пропорційна квадрату напруженості. Ця формула, хоч і отримана для однорідного поля, правильна для будь-якого електричного поля. У загальному випадку енергію поля можна обчислити за такою формулою:

У виразі входить діелектрична проникність. Це означає, що в діелектриці щільність енергії більша ніж у вакуумі. Це з тим, що з створенні поля в діелектриці відбувається додаткова робота, що з поляризацією діелектрика. Підставимо вираз для щільності енергії значення вектора електричної індукції:

Перший доданок пов'язане з енергією поля у вакуумі, друге – з роботою, витраченою на поляризацію одиниці об'єму діелектрика.

Елементарна робота, витрачена полем на збільшення вектора поляризації дорівнює.

Робота з поляризації одиниці об'єму діелектрика дорівнює:

оскільки, що й потрібно було довести.

Розглянемо систему із двох точкових зарядів (див. малюнок) згідно з принципом суперпозиції у будь-якій точці простору:

Щільність енергії електричного поля

Перший і третій доданки пов'язані з електричними полями зарядів і відповідно, а другий доданок відображає електричну енергію, пов'язану із взаємодією зарядів:

Власна енергія зарядів величина позитивна, а енергія взаємодії може бути як позитивною, і негативною.

На відміну від вектора енергія електричного поля величина не адитивна. Енергію взаємодії можна уявити більш простим співвідношенням. Для двох точкових зарядів енергія взаємодії дорівнює:

яку можна уявити як суму:

де - потенціал поля заряду у місці знаходження заряду, а - потенціал поля заряду у місці знаходження заряду.

Узагальнюючи отриманий результат на систему із довільної кількості зарядів, отримаємо:

де - заряд системи, - потенціал, створюваний у місці знаходження заряду, усіма іншимизарядами системи.

Якщо заряди розподілені безперервно з об'ємною густиною, суму слід замінити об'ємним інтегралом:

де - потенціал, що створюється усіма зарядами системи в елементі об'ємом. Отриманий вираз відповідає повної електричної енергіїсистеми.

У межах електростатики неможливо дати відповідь на питання, де зосереджено енергію конденсатора. Поля та заряди, що їх утворили, не можуть існувати окремо. Їх не поділити. Однак змінні поля можуть існувати незалежно від зарядів, що збуджували їх (випромінювання сонця, радіохвилі, …), і вони переносять енергію. Ці факти змушують визнати, що носієм енергії є електростатичне поле .

При переміщенні електричних зарядів сили кулонівської взаємодії виконують певну роботу d А. Робота, здійснена системою, визначається зменшенням енергії взаємодії -d Wзарядів

(5.5.1)

Енергія взаємодії двох точкових зарядів q 1 та q 2 , що знаходяться на відстані r 12 , чисельно дорівнює роботі з переміщення заряду q 1 у полі нерухомого заряду q 2 з точки з потенціалом в точку з потенціалом:

(5.5.2)

Зручно записати енергію взаємодії двох зарядів у симетричній формі

(5.5.3)

Для системи з nточкових зарядів (рис. 5.14) через принцип суперпозиції для потенціалу, в точці знаходження k-го заряду, можна записати:

Тут φ k , i- потенціал i-го заряду в точці розташування k-го заряду. У сумі виключено потенціал φ k , k, тобто. не враховується вплив заряду себе, рівне для точкового заряду нескінченності.

Тоді взаємна енергія системи nзарядів дорівнює:

(5.5.4)

Ця формула справедлива лише у разі, якщо відстань між зарядами помітно перевищує розміри самих зарядів.

Розрахуємо енергію зарядженого конденсатора. Конденсатор і двох, спочатку незаряджених, пластин. Поступово відніматимемо у нижньої пластини заряд d qта переносити його на верхню пластину (рис. 5.15).

У результаті між пластинами виникне різниця потенціалів. При переносі кожної порції заряду відбувається елементарна робота

Скориставшись визначенням ємності, отримуємо

Загальна робота, витрачена збільшення заряду пластин конденсатора від 0 до q, дорівнює:

Цю енергію можна також записати у вигляді

Щільність енергії електричного поля

Власна енергія зарядів величина позитивна
, а енергія взаємодії може бути як позитивною, так і негативною
.

На відміну від вектора енергія електричного поля – величина не адитивна. Енергію взаємодії можна уявити більш простим співвідношенням. Для двох точкових зарядів енергія взаємодії дорівнює:

яку можна уявити як суму:

де
- потенціал поля заряду у місці знаходження заряду , а
- потенціал поля заряду у місці знаходження заряду .

Узагальнюючи отриманий результат на систему із довільної кількості зарядів, отримаємо:

де -
заряд системи, - потенціал, створюваний у місці знаходження
заряду, усіма іншимизарядами системи.

Якщо заряди розподілені безперервно з об'ємною щільністю , суму слід замінити об'ємним інтегралом:

де - потенціал, що створюється всіма зарядами системи в елементі об'ємом
. Отриманий вираз відповідає повної електричної енергіїсистеми.

приклади.

Заряджена металева куля в однорідному діелектрику.

На цьому прикладі ми з'ясуємо чому електричні сили в діелектриці менші ніж у вакуумі і розрахуємо електричну енергію такої кулі.

Н апряженість поля в діелектриці менше напруженості у вакуумі раз
.

Це пов'язано з поляризацією діелектрика та виникненням у поверхні провідника зв'язаного заряду протилежного знака заряду провідника (Див. малюнок). Пов'язані заряди екранують поле вільних зарядів зменшуючи його всюди. Напруженість електричного поля в діелектриці дорівнює сумі
, де
- Напруженість поля вільних зарядів,
- Напруженість поля пов'язаних зарядів. Враховуючи що
, знаходимо: