Պարզ և բաղադրյալ թվեր. Թվի ֆակտորինգ Թվի ֆակտորինգ 6

Այս առցանց հաշվիչը նախատեսված է ֆունկցիայի ֆակտորիզացիայի համար:

Օրինակ՝ ֆակտորիզացնել՝ x 2 /3-3x+12: Գրենք որպես x^2/3-3*x+12: Կարող եք նաև օգտվել այս ծառայությունից, որտեղ բոլոր հաշվարկները պահվում են Word ձևաչափով։

Օրինակ՝ տարրալուծել տերմինների։ Եկեք այն գրենք որպես (1-x^2)/(x^3+x) . Լուծման առաջընթացը տեսնելու համար սեղմեք Ցույց տալ քայլերը: Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է արդյունքը ստանալ Word ձևաչափով, օգտվեք այս ծառայությունից:

Նշում«pi» թիվը (π) գրվում է pi ; քառակուսի արմատը որպես sqrt, օրինակ՝ sqrt(3), tg-ի շոշափողը գրվում է որպես tan: Պատասխանի համար տե՛ս «Այլընտրանք» բաժինը:

1. Եթե ​​տրված է պարզ արտահայտություն, օրինակ՝ 8*d+12*c*d, ապա արտահայտության ֆակտորավորումը նշանակում է գործոնավորել արտահայտությունը։ Դա անելու համար հարկավոր է ընդհանուր գործոններ գտնել: Այս արտահայտությունը գրում ենք հետևյալ կերպ՝ 4*d*(2+3*c) .
2. Արտադրյալն արտահայտեք երկու երկանդամների տեսքով՝ x 2 + 21yz + 7xz + 3xy: Այստեղ մենք արդեն պետք է գտնենք մի քանի ընդհանուր գործոն՝ x(x + 7z) + 3y(x + 7z): Հանում ենք (x+7z) և ստանում՝ (x+7z)(x + 3y) .

տես նաև Բազմանդամների բաժանումը անկյունով (ցուցված են սյունակով բաժանման բոլոր քայլերը)

Օգտակար են ֆակտորիզացիայի կանոնները սովորելիս կրճատված բազմապատկման բանաձևեր, որով պարզ կլինի, թե ինչպես կարելի է բացել փակագծերը քառակուսիով.

1. (ա+բ) 2 = (ա+բ)(ա+բ) = ա 2 +2աբ+բ 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b) (a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Ֆակտորինգի մեթոդներ

1. Օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևերը:
2. Որոնեք ընդհանուր գործոն:

Մեկից բացի յուրաքանչյուր բնական թիվ ունի երկու կամ ավելի բաժանարար: Օրինակ՝ 7 թիվը առանց մնացորդի բաժանվում է միայն 1-ի և 7-ի, այսինքն՝ ունի երկու բաժանարար։ Իսկ 8 թիվը ունի 1, 2, 4, 8 բաժանարարներ, այսինքն՝ միանգամից 4 բաժանարար։

Ո՞րն է տարբերությունը պարզ և բաղադրյալ թվերի միջև

Այն թվերը, որոնք ունեն ավելի քան երկու գործակից, կոչվում են կոմպոզիտային թվեր: Այն թվերը, որոնք ունեն ընդամենը երկու բաժանարար՝ մեկը և հենց թիվը, կոչվում են պարզ թվեր։

Թիվ 1-ն ունի միայն մեկ բաժանում, այն է, որ թիվը ինքնին: Միավորը չի տարածվում պարզ կամ բաղադրյալ թվերի վրա:

• Օրինակ՝ 7 թիվը պարզ է, իսկ 8 թիվը՝ բաղադրյալ։

Առաջին 10 պարզ բառերը. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29: 2 թիվը միակ պարզ թիվն է, մնացած բոլորը պարզ թվերտարօրինակ.

78 թիվը բաղադրյալ է, քանի որ բացի 1-ից և ինքն իրենից, այն բաժանվում է նաև 2-ի։ 2-ի բաժանելիս ստանում ենք 39։ Այսինքն՝ 78 = 2 * 39։ Նման դեպքերում, ասվում է, որ թիվը հաշվի է առնվել 2-ով և 39-ով:

Ցանկացած կոմպոզիտային թիվ կարելի է բաժանել երկու գործոնի, որոնցից յուրաքանչյուրը 1-ից մեծ է: Պարզ թվի դեպքում նման հնարքը չի աշխատի: Այսպիսով, այն գնում է:

Թվերի տարրալուծումը պարզ գործոնների

Ինչպես նշվեց վերևում, ցանկացած բաղադրյալ թիվ կարելի է բաժանել երկու գործոնի. Վերցնենք, օրինակ, 210 թիվը։ Այս թիվը կարելի է բաժանել երկու գործոնի՝ 21 և 10։ Բայց 21 և 10 թվերը նույնպես բաղադրյալ են, եկեք դրանք բաժանենք երկու գործոնի։ Ստանում ենք 10 = 2*5, 21=3*7։ Եվ արդյունքում 210 թիվն արդեն քայքայվել է 4 գործոնի՝ 2,3,5,7։ Այս թվերն արդեն պարզ են և չեն կարող քայքայվել։ Այսինքն՝ մենք 210 թիվը տարրալուծեցինք պարզ գործոնների։

Կոմպոզիտային թվերը պարզ գործակիցների բաժանելիս դրանք սովորաբար գրվում են աճման կարգով։

Պետք է հիշել, որ ցանկացած բաղադրյալ թիվ կարող է տարրալուծվել պարզ գործակիցների և առավել եւս յուրօրինակ կերպով՝ ընդհուպ մինչև փոխակերպում։

• Սովորաբար թիվը պարզ գործակիցների բաժանելիս օգտագործվում են բաժանելիության նշանները։

Եկեք 378 թիվը տարրալուծենք պարզ գործակիցների

Թվեր կգրենք՝ դրանք առանձնացնելով ուղղահայաց գծով։ 378 թիվը բաժանվում է 2-ի, քանի որ այն ավարտվում է 8-ով։ Բաժանելիս ստանում ենք 189 թիվը։ արդյունքում ստանում ենք 63։

63 թիվը նույնպես բաժանվում է 3-ի՝ ըստ բաժանելիության։ Ստանում ենք 21, 21 թիվը կրկին կարելի է բաժանել 3-ի, ստանում ենք 7։ Յոթը բաժանվում է միայն ինքն իրեն, ստանում ենք մեկը։ Սա ավարտում է բաժանումը: Գծից հետո աջ մենք ստացանք պարզ գործակիցներ, որոնց մեջ քայքայվում է 378 թիվը:

378|2
189|3
63|3
21|3

Ի՞նչ է նշանակում ֆակտորիզացնել: Ինչպե՞ս դա անել: Ի՞նչ կարելի է սովորել թիվը պարզ գործոնների բաժանելուց: Այս հարցերի պատասխանները պատկերված են կոնկրետ օրինակներով:

Սահմանումներ:

Պարզ թիվն այն թիվն է, որն ունի ուղիղ երկու տարբեր բաժանարար:

Բաղադրյալ թիվը այն թիվն է, որն ունի երկուից ավելի բաժանարար:

Բնական թիվը ֆակտորիզացնել նշանակում է այն ներկայացնել որպես բնական թվերի արտադրյալ։

Բնական թիվը պարզ գործոնների վերածել նշանակում է այն ներկայացնել որպես պարզ թվերի արտադրյալ:

Նշումներ:

• Պարզ թվի ընդլայնման ժամանակ գործոններից մեկը հավասար է մեկին, իսկ մյուսը հավասար է հենց այս թվին:
• Միասնության գործոնների քայքայման մասին խոսելն անիմաստ է։
• Կոմպոզիտային թիվը կարելի է բաժանել գործոնների, որոնցից յուրաքանչյուրը տարբերվում է 1-ից:

Մեծ թվերը պարզ գործակիցների բաժանելիս օգտագործվում է սյունակի մուտքագրում.

	Ամենափոքր պարզ թիվը, որի վրա 216-ը բաժանվում է, 2-ն է։ 216-ը բաժանում ենք 2-ի, ստանում ենք 108:
	Ստացված 108 թիվը բաժանվում է 2-ի։ Եկեք կատարենք բաժանումը. Արդյունքում ստանում ենք 54։
	Ըստ 2-ի բաժանելիության թեստի՝ 54 թիվը բաժանվում է 2-ի։ Բաժանելուց հետո ստանում ենք 27։
	27 թիվն ավարտվում է 7 կենտ թվով։ Այն Չի բաժանվում 2-ի: Հաջորդ պարզ թիվը 3-ն է: 27-ը բաժանեք 3-ի: Ստանում ենք 9. Ամենափոքր պարզը Այն թիվը, որի վրա 9-ը բաժանվում է, 3-ի է: Երեքն ինքնին պարզ թիվ է, որը բաժանվում է իր և մեկով: Եկեք բաժանենք 3-ը մեզ վրա։ Արդյունքում ստացանք 1.

• Թիվը բաժանվում է միայն այն պարզ թվերի վրա, որոնք նրա տարրալուծման մաս են կազմում։
• Թիվը բաժանվում է միայն այն բաղադրյալ թվերի վրա, որոնց տարրալուծումը պարզ գործոնների ամբողջությամբ պարունակվում է դրանում։

Դիտարկենք օրինակներ.

Գտե՛ք a թիվը b թվի վրա բաժանելու գործակիցը, եթե այս թվերը տարրալուծվում են պարզ գործակիցների հետևյալ կերպ a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Մատենագիտություն

1. Վիլենկին Ն.Յա., Ժոխով Վ.Ի., Չեսնոկով Ա.Ս., Շվարցբուրդ Ս.Ի. Մաթեմատիկա 6. - Մ.: Mnemosyne, 2012 թ.
2. Մերզլյակ Ա.Գ., Պոլոնսկի Վ.Վ., Յակիր Մ.Ս. Մաթեմատիկա 6-րդ դասարան. - Գիմնազիա. 2006թ.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Մաթեմատիկայի դասագրքի էջերի հետևում. - Մ.: Լուսավորություն, 1989:
4. Ռուրուկին Ա.Ն., Չայկովսկի Ի.Վ. Առաջադրանքներ մաթեմատիկայի դասընթացի 5-6 դասարանի համար. - M.: ZSh MEPhI, 2011:
5. Ռուրուկին Ա.Ն., Սոչիլով Ս.Վ., Չայկովսկի Կ.Գ. Մաթեմատիկա 5-6. Ձեռնարկ MEPhI հեռակա դպրոցի 6-րդ դասարանի աշակերտների համար. - M.: ZSh MEPhI, 2011:
6. Շևրին Լ.Ն., Գեյն Ա.Գ., Կորյակով Ի.Օ., Վոլկով Մ.Վ. Մաթեմատիկա՝ զրուցակից դասագիրք 5-6-րդ դասարանների համար ավագ դպրոց. - Մ .: Կրթություն, Մաթեմատիկայի ուսուցչի գրադարան, 1989 թ.

1. Ինտերնետ պորտալ Matematika-na.ru ().
2. Ինտերնետ պորտալ Math-portal.ru ().

Տնային աշխատանք

1. Վիլենկին Ն.Յա., Ժոխով Վ.Ի., Չեսնոկով Ա.Ս., Շվարցբուրդ Ս.Ի. Մաթեմատիկա 6. - Մ.: Mnemozina, 2012 թ., թիվ 127, թիվ 129, թիվ 141:
2. Այլ առաջադրանքներ՝ թիվ 133, թիվ 144։

Ամեն ինչ սկսվում է երկրաչափական առաջընթացից: Շարքերի մասին առաջին դասախոսության ժամանակ (տե՛ս բաժինը 18.1. Հիմնական սահմանումներ) մենք ապացուցեցինք, որ այս ֆունկցիան շարքի գումարն է , և շարքը համընկնում է ֆունկցիայի վրա
. Այսպիսով,

.

Եկեք գրենք այս շարքի մի քանի տեսակներ: Փոխարինելով X վրա - X , ստանում ենք

փոխարինելիս X վրա
մենք ստանում ենք

և այլն; Այս բոլոր շարքերի կոնվերգենցիայի շրջանը նույնն է.
.

2.
.

Այս ֆունկցիայի բոլոր ածանցյալները մի կետում X =0 հավասար են
, այսպիսով, շարքը նման է

.

Այս շարքի կոնվերգենցիայի տարածքը ամբողջ թվային առանցքն է (հատվածի օրինակ 6. 18.2.4.3. Ուժային շարքի կոնվերգենցիայի շառավիղ, կոնվերգենցիայի միջակայք և կոնվերգենցիայի շրջան), Ահա թե ինչու
ժամը
. Որպես հետևանք, Թեյլորի բանաձևի մնացորդային տերմինը
. Այսպիսով, շարքը համընկնում է
ցանկացած կետում X .

3.
.

Այս շարքը բացարձակապես համընկնում է

, և դրա գումարը իսկապես հավասար է
. Թեյլորի բանաձևի մնացած անդամն ունի ձև
, որտեղ
կամ
սահմանափակ ֆունկցիա է, և
(սա նախորդ ընդլայնման ընդհանուր տերմինն է):

4.
.

Այս ընդլայնումը կարելի է ստանալ, ինչպես նախորդները, ածանցյալների հաջորդական հաշվարկով, բայց մենք այլ կերպ կշարունակենք։ Տարբերակենք նախորդ շարքի տերմինն ըստ տերմինի.

Ամբողջ առանցքի վրա ֆունկցիայի կոնվերգենցիան բխում է հզորության շարքի տերմին առ տերմին տարբերակման թեորեմից։

5. Ինքներդ ապացուցեք, որ ամբողջ թվային առանցքի վրա, .

6.
.

Այս ֆունկցիայի շարքը կոչվում է երկանդամ շարք. Այստեղ մենք հաշվարկելու ենք ածանցյալները:

…Maclaurin շարքը ունի ձև

Մենք փնտրում ենք կոնվերգենցիայի միջակայք. հետևաբար, կոնվերգենցիայի միջակայքը
. Մենք չենք ուսումնասիրի մնացյալ տերմինը և շարքի վարքագիծը կոնվերգենցիայի միջակայքի ծայրերում. պարզվում է, որ երբ
շարքը բացարձակապես համընկնում է երկու կետերում
, ժամը
շարքը պայմանականորեն համընկնում է մի կետում
և շեղվում է կետում
, ժամը
տարբերվում է երկու կետերում:

7.
.

Այստեղ մենք կօգտագործենք այն փաստը, որ
. Այդ ժամանակվանից ի վեր, ժամկետ առ ժամկետ ինտեգրվելուց հետո,

Այս շարքի կոնվերգենցիայի շրջանը կես ինտերվալն է
Ներքին կետերում ֆունկցիայի կոնվերգենցիան բխում է ուժային շարքի տերմին առ տերմին ինտեգրման թեորեմից, կետում. X =1 - ինչպես ֆունկցիայի, այնպես էլ հզորությունների շարքերի գումարի շարունակականությունից բոլոր կետերում, կամայականորեն մոտ X =1 ձախ կողմում: Նշենք, որ վերցնելը X =1, մենք կգտնենք շարքի գումարը:

8. Շարքը տերմին առ տերմին ինտեգրելով՝ մենք ֆունկցիայի ընդլայնում ենք ստանում
. Ինքներդ կատարեք բոլոր հաշվարկները, դուրս գրեք կոնվերգենցիայի տարածքը:

9. Եկեք գրենք ֆունկցիայի ընդլայնումը
ըստ երկանդամ շարքի բանաձևի հետ
: Հայտարար
ներկայացված է որպես կրկնակի գործոնային
նշանակում է նույն հավասարության բոլոր բնական թվերի արտադրյալը, ինչ , չգերազանցող . Ընդլայնումը համընկնում է ֆունկցիայի համար
. Ժամկետային իմաստով այն ինտեգրելով 0-ից մինչև X , ստանում ենք. Ստացվում է, որ այս շարքը համընկնում է ֆունկցիային ամբողջ միջակայքում
; ժամը X =1 մենք ստանում ենք թվի ևս մեկ գեղեցիկ ներկայացում :
.

18.2.6.2. Մի շարք գործառույթների ընդլայնման խնդիրների լուծում:Խնդիրների մեծ մասը, որոնցում պահանջվում է տարրական ֆունկցիան ընդլայնել ուժային շարքի
, լուծվում է ստանդարտ ընդարձակումների միջոցով։ Բարեբախտաբար, ցանկացած հիմնական տարրական ֆունկցիա ունի հատկություն, որը թույլ է տալիս դա անել: Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

1. Քայքայել ֆունկցիան
աստիճաններով
.

Լուծում. . Շարքը համընկնում է
.

2. Ընդարձակել գործառույթը
աստիճաններով
.

Լուծում.
. Կոնվերգենցիայի տարածք.
.

3. Ընդարձակել գործառույթը
աստիճաններով
.

Լուծում. . Շարքը համընկնում է
.

4. Քայքայել ֆունկցիան
աստիճաններով
.

Լուծում. . Շարքը համընկնում է
.

5. Քայքայել ֆունկցիան
աստիճաններով
.

Լուծում. . Կոնվերգենցիայի տարածք
.

6. Ընդարձակել ֆունկցիան
աստիճաններով
.

Լուծում. Երկրորդ տիպի պարզ ռացիոնալ կոտորակների շարքի ընդլայնումը ստացվում է առաջին տիպի կոտորակների համապատասխան ընդլայնումների տերմին առ տերմին տարբերակումով։ Այս օրինակում. Ավելին, տերմին առ տերմին տարբերակելով կարելի է ստանալ ֆունկցիաների ընդլայնումներ
,
և այլն:

7. Քայքայել ֆունկցիան
աստիճաններով
.

Լուծում. Եթե ​​ռացիոնալ կոտորակը պարզ չէ, ապա այն նախ ներկայացվում է որպես պարզ կոտորակների գումար.
, և այնուհետև շարունակեք այնպես, ինչպես օրինակ 5-ում: , որտեղ
.

Բնականաբար, նման մոտեցումն անկիրառելի է, օրինակ, ֆունկցիայի տարրալուծման հարցում աստիճաններով X . Այստեղ, եթե Ձեզ անհրաժեշտ է ստանալ Թեյլորի շարքի առաջին մի քանի տերմինները, ամենահեշտ ճանապարհը արժեքները գտնելն է կետում: X =0 առաջին ածանցյալների պահանջվող թիվը: