Ինտերվալները և դրանց տեսակները: Թվային ընդմիջումներ

• բաց թվային ճառագայթ;
• թվային ճառագայթ;
• ընդմիջում;
• կես ինտերվալ.

Հարմարության համար մենք ամփոփում ենք թվային ընդմիջումների վերաբերյալ բոլոր տվյալները աղյուսակում: Դրա մեջ դնենք թվային միջակայքի անվանումը, դրան համապատասխանող անհավասարությունը, նշումը և կոորդինատային գծի պատկերը։ Մենք ստանում ենք հետևյալը տեսականու աղյուսակ:

Մատենագիտություն.

• Հանրահաշիվ:դասագիրք 8 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
• Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ. 9-րդ դասարան Ժամը 14-ին Մաս 1. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13-րդ հրատ., Սր. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 էջ: հիվանդ. ISBN 978-5-346-01752-3 ։

Թվերի բազմությունների շարքում կան բազմություններ, որտեղ առարկաները թվային միջակայքեր են։ Կոմպլեկտ նշելիս ավելի հեշտ է որոշել միջակայքով: Հետևաբար, մենք գրում ենք լուծումների բազմությունները՝ օգտագործելով թվային միջակայքերը:

Այս հոդվածը տալիս է թվային բացերի, անունների, նշումների, կոորդինատների գծի բացերի պատկերների, անհավասարությունների համապատասխանության վերաբերյալ հարցերի պատասխանները։ Եզրափակելով, կքննարկվի բացերի աղյուսակը:

Յուրաքանչյուր թվային միջակայք բնութագրվում է.

• Անուն;
• սովորական կամ կրկնակի անհավասարության առկայությունը.
• նշանակում;
• երկրաչափական պատկեր կոորդինատային գծի վրա:

Թվային միջակայքը սահմանվում է վերը նշված ցանկի ցանկացած 3 եղանակով: Այսինքն՝ կոորդինատային գծի վրա անհավասարություն, նշում, պատկերներ օգտագործելիս։ Այս մեթոդը առավել կիրառելի է:

Կատարենք թվային ընդմիջումների նկարագրությունը վերը նշված կողմերի հետ.

Սահմանում 2

• Բաց թվային ճառագայթ:Անվանումը պայմանավորված է նրանով, որ այն բաց է թողնվել՝ բաց թողնելով։

Այս միջակայքն ունի համապատասխան x անհավասարություններ< a или x >a, որտեղ a-ն իրական թիվ է: Այսինքն՝ նման ճառագայթի վրա կան բոլոր իրական թվերը, որոնք փոքր են a-ից (x< a) или больше a - (x >ա) .

Թվերի բազմությունը, որը կբավարարի x ձևի անհավասարությունը< a обозначается виде промежутка (− ∞ , a) , а для x >a , նման (a , + ∞) .

Բաց ճառագայթի երկրաչափական իմաստը համարում է թվային բացվածքի առկայությունը: Համապատասխանություն կա կոորդինատային ուղղի կետերի և նրա թվերի միջև, ինչի պատճառով ուղիղը կոչվում է կոորդինատային ուղիղ։ Եթե ​​անհրաժեշտ է թվեր համեմատել, ապա կոորդինատային գծի վրա ավելի մեծ թիվը աջ կողմում է։ Այնուհետև x ձևի անհավասարություն< a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x >ա - կետեր, որոնք գտնվում են աջ կողմում: Թիվն ինքնին հարմար չէ լուծելու համար, հետևաբար, գծագրում այն ​​նշվում է բռունցքված կետով: Այն բացը, որն անհրաժեշտ է, ընդգծվում է ելուստով: Դիտարկենք ստորև բերված նկարը:

Վերոնշյալ նկարից երևում է, որ թվային բացերը համապատասխանում են ուղիղ գծի մի մասի, այսինքն՝ a-ից սկսվող ճառագայթների։ Այսինքն՝ դրանք կոչվում են առանց սկզբի ճառագայթներ։ Ուստի այն կոչվեց բաց թվային ճառագայթ։

Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Օրինակ 1

Տրված խիստ անհավասարության համար x > − 3 տրված է բաց ճառագայթ։ Այս գրառումը կարող է ներկայացվել որպես կոորդինատներ (− 3, ∞): Այսինքն, սրանք բոլոր կետերն են, որոնք գտնվում են աջից, քան - 3-ը:

Օրինակ 2

Եթե ​​ունենք x ձևի անհավասարություն< 2 , 3 , то запись (− ∞ , 2 , 3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

Սահմանում 3

• թվային ճառագայթ.Երկրաչափական իմաստն այն է, որ սկիզբը չցնվի, այլ կերպ ասած՝ ճառագայթը թողնում է իր օգտակարությունը։

Դրա նշանակումը կատարվում է x ≤ a կամ x ≥ a ձևի ոչ խիստ անհավասարությունների օգնությամբ: Այս տեսակի համար ընդունվում է ձևի հատուկ նշում (− ∞ , a ] և [ a , + ∞), իսկ քառակուսի փակագծի առկայությունը նշանակում է, որ կետը ներառված է լուծման կամ բազմության մեջ։ Դիտարկենք ստորև բերված նկարը:

Պատկերավոր օրինակի համար սահմանենք թվային ճառագայթ:

Օրինակ 3

x ≥ 5 ձևի անհավասարությունը համապատասխանում է [ 5 , + ∞) նշմանը, ապա ստանում ենք այս ձևի ճառագայթ.

Սահմանում 4

• Ինտերվալ.Ինտերվալների օգտագործմամբ կարգավորումը գրվում է կրկնակի անհավասարությունների միջոցով a< x < b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде (a , b) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

Դիտարկենք ստորև բերված նկարը:

Օրինակ 4

Ինտերվալի օրինակ - 1< x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (− 1 , 3 , 5) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

Սահմանում 5

• Թվային գիծ.Այս միջակայքը տարբերվում է նրանով, որ այն ներառում է սահմանային կետեր, այնուհետև այն ունի a ≤ x ≤ b ձևը: Նման ոչ խիստ անհավասարությունն ասում է, որ որպես թվային հատված գրելիս օգտագործվում են [ a , b ] քառակուսի փակագծերը, ինչը նշանակում է, որ կետերը ներառված են բազմության մեջ և ցուցադրվում են լրացված։

Օրինակ 5

Հաշվի առնելով հատվածը, մենք ստանում ենք, որ դրա ճշգրտումը հնարավոր է օգտագործելով 2 ≤ x ≤ 3 կրկնակի անհավասարությունը, որը ներկայացված է որպես 2, 3: Կոորդինատային գծի վրա տվյալների կետերը կներառվեն լուծման մեջ և ստվերվեն:

Սահմանում 6 Օրինակ 6

Եթե ​​կա կես ինտերվալ (1, 3 ] , ապա դրա նշանակումը կարող է լինել կրկնակի անհավասարության տեսքով 1.< x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

Բացերը կարող են ցուցադրվել հետևյալ կերպ.

• բաց թվով ճառագայթ;
• թվային ճառագայթ;
• ընդմիջում;
• թվային հատված;
• կես ինտերվալ.

Հաշվարկման գործընթացը պարզեցնելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել հատուկ աղյուսակ, որտեղ կան ուղիղ գծի բոլոր տեսակի թվային միջակայքերի նշանակումներ:

Անուն	անհավասարություն	Նշանակում	Պատկեր
Բաց թվային ճառագայթ	x< a	- ∞ , ա
	x > ա	a , +∞
թվային ճառագայթ	x ≤ ա	(-∞, ա]
	x ≥ ա	[a, +∞)
Ինտերվալ	ա< x < b	ա , բ
Թվային հատված	ա ≤ x ≤ բ	ա , բ
Կես ընդմիջում

Թվային միջակայքերը ներառում են ճառագայթներ, հատվածներ, ինտերվալներ և կիսամյակային միջակայքեր:

Թվային միջակայքերի տեսակները

Աղյուսակ աև բսահմանակետերն են, և x- փոփոխական, որը կարող է վերցնել թվային միջակայքին պատկանող ցանկացած կետի կոորդինատը:

սահմանային կետմի կետ է, որը սահմանում է թվային միջակայքի սահմանը: Սահմանային կետը կարող է պատկանել կամ չպատկանել թվային միջակայքին: Գծագրերում այն ​​սահմանային կետերը, որոնք չեն պատկանում դիտարկվող թվային միջակայքին, նշվում են չլրացված շրջանով, իսկ նրանք, որոնք պատկանում են լրացված շրջանագծին:

Բաց և փակ ճառագայթ

բաց ճառագայթգծի կետերի բազմություն է, որը գտնվում է տվյալ բազմության մեջ չընդգրկված սահմանային կետի մի կողմում: Ճառագայթը կոչվում է բաց հենց այն սահմանային կետի պատճառով, որը իրեն չի պատկանում:

Դիտարկենք կոորդինատային գծի կետերի բազմությունը, որոնք ունեն 2-ից մեծ կոորդինատ և, հետևաբար, գտնվում են 2-րդ կետից աջ.

Նման բազմությունը կարելի է սահմանել անհավասարությամբ x> 2. Բաց ճառագայթները նշվում են փակագծերով - (2; +∞), այս գրառումը կարդում է հետևյալ կերպ՝ բաց թվային ճառագայթ երկուսից մինչև գումարած անվերջություն:

Անհավասարությանը համապատասխան բազմություն x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

փակ ճառագայթգծի այն կետերի բազմությունն է, որոնք գտնվում են տվյալ բազմությանը պատկանող սահմանային կետի նույն կողմում։ Գծագրերում դիտարկվող լրակազմին պատկանող սահմանային կետերը նշված են լցված շրջանով։

Փակ թվային ճառագայթները սահմանվում են ոչ խիստ անհավասարություններով։ Օրինակ՝ անհավասարությունները x 2 և x 2-ը կարելի է ցույց տալ այսպես.

Այս փակ ճառագայթները նշանակվում են հետևյալ կերպ. , այն կարդացվում է այսպես՝ թվային ճառագայթ երկուսից մինչև գումարած անվերջություն և թվային ճառագայթ՝ մինուս անսահմանությունից մինչև երկու։ Նշման քառակուսի փակագիծը ցույց է տալիս, որ 2-րդ կետը պատկանում է թվային բացին:

Գծային հատված

Գծային հատվածգծի այն կետերի բազմությունն է, որոնք գտնվում են տվյալ բազմությանը պատկանող երկու սահմանակետերի միջև։ Նման բազմությունները տրվում են կրկնակի ոչ խիստ անհավասարություններով։

Դիտարկենք կոորդինատային գծի մի հատված, որի ծայրերը վերջանում են -2 և 3 կետերում.

Տրված հատվածը կազմող կետերի բազմությունը կարելի է ճշտել կրկնակի անհավասարությամբ -2 x 3 կամ նշանակել [-2; 3], նման գրառումը կարդում է հետևյալը՝ մինուս երկուից երեք հատված։

Ինտերվալ և կես ինտերվալ

Ինտերվալգծի այն կետերի բազմությունն է, որոնք գտնվում են տվյալ բազմությանը չպատկանող երկու սահմանակետերի միջև։ Նման բազմությունները սահմանվում են կրկնակի խիստ անհավասարություններով։

Դիտարկենք կոորդինատային գծի մի հատված, որի ծայրերը վերջանում են -2 և 3 կետերում.

Այս միջակայքը կազմող կետերի բազմությունը կարելի է ճշտել կրկնակի անհավասարությամբ -2< x < 3 или обозначить (-2; 3). Такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

Կես ընդմիջումգծի այն կետերի բազմությունն է, որոնք գտնվում են երկու սահմանային կետերի միջև, որոնցից մեկը պատկանում է բազմությանը, իսկ մյուսը՝ ոչ։ Նման բազմությունները տրվում են կրկնակի անհավասարություններով.

Այս կիսամյակային միջակայքերը նշանակված են հետևյալ կերպ. (-2; 3] և [-2; 3): Այն կարդում է այսպես՝ կես ինտերվալ՝ մինուս երկուսից մինչև երեքը, ներառյալ 3-ը, և կես ինտերվալը՝ մինուս երկուսից մինչև երեքը, ներառյալ մինուս երկուսը։