Классификация геометрических моделей по внутреннему представлению. Виды геометрических моделей

Под геометрической моделью объекта понимается совокупность сведений, однозначно определяющих его конфигурацию и геометрические параметры.

В настоящее время существует два подхода к автоматизированному созданию геометрических моделей с использованием компью­терных технологий.

Первый подход, представляющий традиционную технологию создания графических изображений, базируется на двухмерной геометрической модели и фактическом использовании компьютера как электронного кульмана, позволяющего ускорить процесс вычерчивания объекта и улучшить качество оформления конструкторской документации. Центральное место при этом занимает чер­теж, который служит средством представления изделия на плоскости в виде ортогональных проекций, видов, разрезов и сечений и содержит всю необходимую информацию для разработки технологического процесса изготовления изделия. В двухмерной модели геометрия изделия отображается в компьютере как плоский объект, каждая точка которого представляется с помощью двух координат: X и Y.

Очевидны основные недостатки использования двухмерных моделей при автоматизированном проектировании:

Создаваемую конструкцию объекта приходится мысленно представлять в виде отдельных элементов чертежа (ортогональных проекций, видов, разрезов и сечений), что является сложным процессом даже для опытных разработчиков и зачастую приводит к ошибкам проектирования конструкций изделий;

Все графические изображения на чертеже (ортогональные проекции, виды, разрезы, сечения) создаются независимо друг от друга и поэтому ассоциативно не связаны, то есть каждое изменение объекта проектирования ведет за собой необходимость выполнения изменений (редактирования) в каждом соответствующем графическом изображении чертежа, что является трудоемким процессом и причиной значительного количества ошибок при модификации конструкций изделий;

Невозможность использования полученных чертежей для создания компьютерных моделей контрольных сборок объектов из составляющих компонентов (агрегатов, узлов и деталей);

Сложность и высокая трудоемкость создания аксонометрических изображений сборочных единиц изделий, их каталогов и руководств по их эксплуатации;

Двухмерные модели неэффективно использовать на последующих (после создания конструкции изделия) этапах производственного цикла.

Второй подход к разработке графических изображений объектов проектирования основан на использовании трехмерных геометрических моделей объектов, которые создаются в автоматизированных системах трехмерного моделирования. Такие компьютерные модели являются наглядным спо­собом представления объектов проектирования, что позволяет исключить перечисленные недостатки двухмерного моделирования и значительно расширить эффективность и области применения трехмерных моделей на различных этапах производственного цикла изготовления изделий.

Трехмерные модели служат для компьютерного представления моделей изделий в трех измерениях, то есть геометрия объекта представляется в компьютере с помощью трех координат: X, Y и Z. Это позволяет перестраивать аксонометрические проекции моделей объектов в различных пользовательских системах координат, а также получать их аксонометрические виды с любой точки зрения или визуализировать их в виде перспективы. Поэтому трехмерные геометрические модели обладают значительными преимуществами по сравнению с двухмерными моделями и позволяют значительно повысить эффективность проектирования.

Основные достоинства трехмерных моделей:

Изображение наглядно и просто воспринимается проектировщиком;

Чертежи деталей создаются с помощью автоматически получаемых проекций, видов, разрезов и сечений трехмерной модели объекта, что значительно повышает производительность разработки чертежей;

Изменения в трехмерной модели автоматически вызывают соответствующие изменения в ассоциативно связанных графических изображениях чертежа объекта, что позволяет быстро модифицировать чертежи;

Возможно создание трехмерных моделей виртуальных контрольных сборок и каталогов изделий;

Трехмерные модели используются для создания операционных эскизов технологических процессов изготовления деталей и формообразующих элементов технологической оснастки: штампов, прессформ, литейных форм;

С помощью трёхмерных моделей можно проводить имитирование работы изделий с целью определения их работоспособности до изготовления;

Трехмерные модели используются в системах автоматизированной подготовки программ для автоматического программирования траекторий перемещения рабочих органов многокоординатных станков с числовым программным управлением;

Эти достоинства позволяют эффективно использовать трехмерные модели в системах автоматизированного управления жизненным циклом изделий.

Различают три основных вида трехмерных моделей:

- каркасные (проволочные), в которых изображения представляются координатами вершин и соединяющими их ребрами;

- поверхностные , представляемые поверхностями, ограничивающими создаваемую модель объекта;

- твердотельные , которые формируется из моделей сплошных тел;

- гибридные .

Трехмерные графические модели содержат информацию обо всех графических примитивах объекта, расположенного в трехмерном пространстве, то есть строится числовая модель трехмерного объекта, каждая точка которого имеет три координаты (X,Y,Z).

Рис. 10.1. Структура данных каркасной модели тетраэдра

Основные недостатки каркасных моделей:

Невозможно автоматическое удаление скрытых линий;

Возможность неоднозначного представления объекта;

В сечении объекта плоскостями будут только точки пересечения ребер объекта;

Однако каркасные модели не требуют большого количества вычислений, то есть высокого быстродействия и большой компьютерной памяти. Поэтому они экономичны с точки зрения использования их при создании компьютерных изображений.

В поверхностных моделях объемное изображение объекта представляется в виде совокупности отдельных поверхностей.

При создании трехмерных поверхностных моделей используются аналитические и сплайн-поверхности.

Аналитические поверхности (плоскость, цилиндр, конус, сфера и др.) описываются математическими уравнениями.

Сплайн-поверхности представляются массивами точек, между которыми положения остальных точек определяются с помощью математической аппроксимации. На рис. 10.2б показан пример сплайн-поверхности, созданной перемещением плоского эскиза (рис.10.2а) в выбранном направлении.

Рис. 10.2. Пример сплайн-поверхности

Недостатки поверхностных моделей:

В сечении объекта плоскостями будут только линии пересечения поверхностей объекта с секущими плоскостями;

Невозможно выполнение логических операций сложения, вычитания и пересечения объектов.

Достоинства поверхностных моделей:

Однозначное представление объекта;

Возможность создания моделей объектов, имеющих сложные по конфигурации поверхности.

Трехмерные поверхностные модели нашли широкое применение при создании моделей сложных объектов, состоящих из поверхностей, относительная толщина которых намного меньше размеров создаваемых моделей объектов (корпус судна, фюзеляж самолета, кузов автомобиля и др.).

Кроме того, поверхностные модели используются при создании гибридных твердотельных моделей с использованием поверхностно-ограниченных моделей, когда создание твердотельной модели очень сложно или невозможно вследствие сложных поверхностей объекта.

Твердотельная модель является реальным представлением объекта, так как структура компьютерных данных включает координаты точек всего тела объекта. Это позволяет осуществлять логические операции над объектами: объединение, вычитание и пересечение.

Существует две разновидности твердотельных моделей: поверхностно-ограниченная и объемная.

В поверхностно-ограниченной твердотельной модели границы объекта формируются с помощью поверхностей.

Для объемной твердотельной модели модель внутренних вычислений представляет координаты точек всего твердого тела. Очевидно, что твердотельные модели объектов требуют выполнения большого количества вычислений по сравнению с каркасными и поверхностными моделями, так как в процессе их преобразований требуется пересчет координат всех точек тела объекта и в связи с этим – больших вычислительных мощностей компьютеров (быстродействия и оперативной памяти). Однако эти модели обладают достоинствами, позволяющими эффективно использовать их в процессе автоматизированного проектирования:

Возможно автоматическое удаление скрытых линий;

Наглядность и невозможность неоднозначного представления объекта;

В сечении объекта плоскостями будут получаться разрезы, используемые при создании чертежей;

Возможно выполнение логических операций сложения, вычитания и пересечения объектов.

На рис.10.3 в качестве иллюстрации показаны результаты сечения плоскостью различных типов трехмерных моделей параллелепипеда: каркасной, поверхностной и твердотельной.

Рис. 10.3. Сечения плоскостью различных типов трехмерных моделей

Эта иллюстрация показывает, что с помощью трехмерных моделей возможно получение разрезов и сечений, что требуется выполнять при создании чертежей изделий.

Принцип создания сложной модели объекта основан на последовательном выполнении трех логических (булевых) операций с твердотельными моделями(рис.10.4): гибридная модель , представляющая собой комбинацию поверхностно-ограниченной модели и объемной твёрдотельной модели, что позволяет использовать преимущества обеих моделей.

Достоинства твердотельных и гибридных моделей являются основной причиной их широкого использования при создании трехмерных моделей объектов, несмотря на необходимость выполнения большого количества вычислений и, соответственно, применения компьютеров, имеющих большую память и высокое быстродействие.

При решении большинства задач в области автоматизированного конструирования (К) и технологической подготовки производства (ТПП) надо иметь модель объекта проектирования.

Под моделью объекта понимают его некоторое абстрактное представление, удовлетворяющее условию адекватности этому объекту и позволяющее осуществлять его представление и обработку с помощью компьютера.

Т.о. модель – набор данных, отображающих свойства объекта и совокупность отношений между этими данными.

В модель объекта ПР в зависимости от характера ее исполнения может входить ряд разнообразных характеристик и параметров. Чаще всего модели объектов содержат данные о форме объекта, его размерах, допусках, применяемых материалах, механических, электрических, термодинамических и других характеристиках, способах обработки, стоимости, а также о микрогеометрии (шероховатость, отклонения формы, размеров).

Для обработки модели в графических системах САПР существенным является не весь объем информации об объекте, а та часть, которая определяет его геометрию, т.е. формы, размеры, пространственное размещение объектов.

Описание объекта с точки зрения его геометрии называется геометрической моделью объекта .

Но геометрическая модель может в себя включать еще и некоторую технологическую и вспомогательную информацию.

Информация о геометрических характеристиках объекта используется не только для получения графического изображения, но и для расчетов различных характеристик объекта (например, по МКЭ), для подготовки программ для станков с ЧПУ.

В традиционном процессе конструирования обмен информацией осуществляется на основе эскизных и рабочих чертежей с использованием нормативно-справочной и технической документации. В САПР этот обмен реализуется на основе внутримашинного представления объекта.

Под геометрическим моделированием понимают весь многоступенчатый процесс – от вербального (словесного) описания объекта в соответствии с поставленной задачей до получения внутримашинного представления объекта.

В системах геометрического моделирования могут обрабатываться 2-мерные и 3-хмерные объекты, которые в свою очередь могут быть аналитически описываемыми и неописываемыми. Аналитически неописываемые геометрические элементы, такие как кривые и поверхности произвольной формы, используются преимущественно при описании объектов в автомобиле-, самолето- и судостроении.

Основные виды ГМ

2-мерные модели , которые позволяют формировать и изменять чертежи, были 1-ми моделями, нашедшими применение. Такое моделирование часто применяется и до сих пор, т.к. оно намного дешевле (в отношении алгоритмов, использования) и вполне устраивает промышленные организации при решении разнообразных задач.

В большинстве 2-мерных систем геометрического моделирования описание объекта осуществляется в интерактивном режиме в соответствии с алгоритмами, аналогичными алгоритмам традиционного метода конструирования. Расширением таких систем является то, что контурам или плоским поверхностям ставится в соответствие постоянная или переменная глубина изображения. Системы, работающие по такому принципу, называется 2,5-мерными. Они позволяют получать на чертежах аксонометрические проекции объектов.

Но 2-мерное представление часто не удобно для достаточно сложных изделий. При традиционных способах конструирования (без САПР) пользуются чертежами, где изделие может быть представлено несколькими видами. Если изделие очень сложное, его можно представить в виде макета. 3-хмерная модель служит для того, чтобы создать виртуальное представление изделия во всех 3-х измерениях.

Различают 3 вида 3-хмерных моделей:

· каркасные (проволочные)

· поверхностные (полигональные)

· объемные (модели сплошных тел).

· Исторически 1-ми явились каркасные модели . В них хранятся только координаты вершин (x,y,z ) и соединяющие их ребра.

На рисунке видно, как куб может быть воспринят неоднозначно.

Т.к. известны только ребра и вершины, возможны различные интерпретации одной модели. Каркасная модель проста, но с ее помощью можно представить в пространстве только ограниченный класс деталей, в которых аппроксимирующие поверхности являются плоскостями. На основе каркасной модели можно получать проекции. Но невозможно автоматически удалять невидимые линии и получать различные сечения.

· Поверхностные модели позволяют описывать достаточно сложные поверхности. Поэтому они часто соответствует нуждам промышленности (самолето-, судо-, автомобилестроение) при описании сложных форм и работе с ними.

При построении поверхностной модели предполагается, что объекты ограничены поверхностями, которые отделяют их от окружающей среды. Поверхность объекта тоже становится ограниченной контурами, но эти контуру являются результатом 2-х касающихся или пересекающихся поверхностей. Вершины объекта могут быть заданы пересечением поверхностей, множеством точек, удовлетворяющих какому-то геометрическому свойству, в соответствии с которым определяется контур.

Возможны различные виды задания поверхностей (плоскости, поверхности вращения, линейчатые поверхности). Для сложных поверхностей используются различные математические модели аппроксимации поверхностей (методы Кунса, Безье, Эрмита, В-сплайна). Они позволяют изменять характер поверхности с помощью параметров, смысл которых доступен пользователю, не имеющему специальной математической подготовки.

Аппроксимация поверхностей общего вида плоскими гранями дает преимущество: для обработки таких поверхностей используются простые математические методы. Недостаток: сохранение формы и размеров объекта зависит от числа граней, используемых для аппроксимаций. Чем > число граней, тем < отклонение от действительной формы объекта. Но с увеличением числа граней одновременно увеличивается и объем информации для внутримашинного представления. Вследствие этого увеличивается как время на работу с моделью объекта, так и объем памяти для хранения модели.

· Если для модели объекта существенно разграничение точек на внутренние и внешние, то говорят об объемных моделях . Для получения таких моделей сначала определяются поверхности, окружающие объект, а затем они собираются в объемы.

В настоящее время известны следующие способы построения объемных моделей:

· В граничных моделях объем определяется как совокупность ограничивающих его поверхностей.

Структура может быть усложнена внесением действий переноса, поворота, масштабирования.

Достоинства:

¾ гарантия генерации правильной модели,

¾ большие возможности моделирования форм,

¾ быстрый и эффективный доступ к геометрической информации (например, для прорисовки).

Недостатки :

¾ больший объем исходных данных, чем при CSG способе,

¾ модель логически < устойчива, чем при CSG, т.е. возможны противоречивые конструкции,

¾ сложности построения вариаций форм.

· В CSG-моделях объект определяется комбинацией элементарных объемов с использованием геометрических операций (объединение, пересечение, разность).

Под элементарным объемом понимается множество точек в пространстве.

Моделью такой геометрической структуры является древовидная структура. Узлы (нетерминальные вершины) – операции, а листья – элементарные объемы.

Достоинства:

¾ концептуальная простота,

¾ малый объем памяти,

¾ непротиворечивость конструкции,

¾ возможность усложнения модели,

¾ простота представления частей и сечений.

Недостатки:

¾ ограничение рамками булевых операций,

¾ вычислительноемкие алгоритмы,

¾ невозможность использовать параметрически описанных поверхностей,

¾ сложность при работе с функциями > чем 2-го порядка.

· Ячеечный метод. Ограниченный участок пространства, охватывающий весь моделируемый объект, считается разбитым на большое число дискретных кубических ячеек (обычно единичного размера).

Моделирующая система должна просто записать информацию о принадлежности каждого куба объекту.

Структура данных представляется 3-хмерной матрицей, в которой каждый элемент соответствует пространственной ячейке.

Достоинства:

¾ простота.

Недостатки:

¾ большой объем памяти.

Для преодоления этого недостатка используют принцип разбиения ячеек на подъячейки в особо сложных частях объекта и на границе.

Объемная модель объекта, полученная любым способом, является корректной, т.е. в данной модели нет противоречий между геометрическими элементами, например, отрезок не может состоять из одной точки.

Каркасное представление м.б. использовано не при моделировании, а при отражении моделей (объемных или поверхностных) как один из методов визуализации.

Моделирование – один из основных методов познания, который заключается в выделении из сложного явления (объекта) некоторых частей и замещении их другими объектами, более понятными и удобными для описания, объяснения и разработки.

Модель – реальный физический объект или процесс, теоретическое построение, упорядоченный набор данных, которые отражают некоторые элементы или свойства изучаемого объекта или явления, существенные с точки зрения моделирования.

Математическая модель – модель объекта, процесса или явления, представляющая собой математические закономерности, с помощью которых описаны основные характеристики моделируемого объекта, процесса или явления.

Геометрическое моделирование – раздел математического моделирования – позволяет решать разнообразные задачи в двумерном, трехмерном и, в общем случае, в многомерном пространстве.

Геометрическая модель включает в себя системы уравнений и алгоритмы их реализации. Математической основой построения модели являются уравнения, описывающие форму и движение объектов. Все многообразие геометрических объектов является комбинацией различных примитивов – простейших фигур, которые в свою очередь состоят из графических элементов - точек, линий и поверхностей.

В настоящее время геометрическое моделирование успешно используется в управлении и других областях человеческой деятельности. Можно выделить две основные области применения геометрического моделирования: проектирование и научные исследования.

Геометрическое моделирование может использоваться при анализе числовых данных. В таких случаях исходным числовым данным ставится в соответствие некоторая геометрическая интерпретация, которая затем анализируется, а результаты анализа истолковываются в понятиях исходных данных.

Этапы геометрического моделирования :

● постановка геометрической задачи, соответствующая исходной прикладной задаче или ее части;

● разработка геометрического алгоритма решения поставленной задачи;

● реализация алгоритма при помощи инструментальных средств;

● анализ и интерпретация полученных результатов.

Методы геометрического моделирования :

● аналитический;

● графический;

● графический, с использованием средств машинной графики;

● графоаналитические методы.

Графоаналитические методы основываются на разделах вычислительной геометрии, таких как теория R-функций, теория поверхностей Кунса, теория кривых Безье, теория сплайнов и др.

Для современных научных исследований характерно использование, наряду с двумерными и трехмерными, многомерных геометрических моделей (физика элементарных частиц, ядерная физика и т. д.).

Система координат (СК) – совокупность базисных (линейно независимых) векторов и единиц измерения расстояния вдоль этих векторов (e 1, e 2, …, en ).

Если базисные вектора нормированы (единичной длины) и взаимно ортогональны, то такая СК называется декартовой (ДСК).

Мировая система координат (МСК) – xyz – содержит точку отсчета (начало координат) и линейно независимый базис, благодаря которым становится возможным цифровое описание геометрических свойств любого графического объекта в абсолютных единицах.

Экранная система координат (ЭСК) – x эy эz э. В ней задается положение проекций геометрических объектов на экране дисплея. Проекция точки в ЭСК имеет координату z э = 0. Тем не менее, не следует отбрасывать эту координату, поскольку МСК и ЭСК часто выбираются совпадающими, а, вектор проекции [x э, y э, 0] может участвовать в преобразованиях, где нужны не две, а три координаты.

Система координат сцены (СКС) – x сy сz с – описывает положение всех объектов сцены - некоторой части мирового пространства с собственным началом отсчета и базисом, которые используются для описания положения объектов независимо от МСК.

Объектная система координат (ОСК) – x оy оz о – связана с конкретным объектом и совершает с ним все движения в СКС или МСК.

В трехмерном пространстве (R3):

● ортогональная декартова СК (x , y , z );

● цилиндрическая СК (ρ, y , φ);

● сферическая СК (r , φ, ω).

Соотношение между декартовой СК и цилиндрической СК :

Аффинным называется преобразование, обладающее следующими свойствами :

● любое аффинное преобразование может быть представлено как последовательность операций из числа простейших: сдвиг, растяжение/сжатие, поворот;

● сохраняются прямые линии, параллельность прямых, отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, и отношение площадей фигур.

Аффинные преобразования координат на плоскости :

(x , y ) – двумерная система координат,

(X , Y ) – координаты старой СК в новой системе координат.

2. Растяжение/сжатие осей:

Обратное преобразование

Аффинные преобразования объектов на плоскости .

x , y – старые координаты точки, X , Y – новые координаты точки.

Обратное преобразование:

3. Поворот вокруг центра координат:

Обратное преобразование:

Положение точки в пространстве Rn (n -мерном пространстве) задается радиус-вектором p = [p 1, p 2, … , pn ], имеющим n координат p 1, p 2, … , pn и разложение по n линейно-независимым базисным векторам e 1, e 2, … , en :

https://pandia.ru/text/78/331/images/image019_47.gif" width="277" height="59">

Линия на плоскости может быть задана с помощью уравнения в неявной форме:

(НФ) f (x ,y )= 0;

или в параметрической форме:

(ПФ) p (t )= [x (t ), y (t )].

В любой регулярной (гладкой и некратной) точке на линии p 0= [x 0, y 0]= p (t 0) возможна линеаризация кривой, т. е. проведение к ней касательной прямой, уравнения которой имеют вид

(НФ) Nx (x - x 0) + Ny (y - y 0) = 0 или N ◦ (p - p 0) = 0,

(ПФ) x (t ) = x 0 + Vx t , y (t )= y 0 + Vy t или p (t ) = p 0 + Vt .

Вектор нормали N = [Nx , Ny ] ортогонален линии и направлен в ту сторону, где f (p )> 0.

Направляющий вектор линии V = [Vx , Vy ] начинается в точке p 0 и направлен по касательной к p (t ) в сторону увеличения t .

Векторы N и V ортогональны, т. е. N ◦ V = 0 или NxVx + NyVy = 0.

Связь вектора нормали и направляющего вектора:

N =[Vy , - Vx ], V =[-Ny , Nx ]

Неявное уравнение прямой задается тремя коэффициентами A , B и D , составляющими вектор F = [A , B , D ]:

(НФ): Ax + By + D =0.

Хотя бы одно из чисел A или B должно быть ненулевым.

Если оба коэффициента ненулевые (A ≠0 и B ≠0), то прямая проходит наклонно к осям координат и пересекается с ними в точках (-D / A , 0) и (0, - D / B ).

При A =0, B ≠0 уравнение By + D =0 описывает горизонтальную прямую y = – D / B .

При A ≠0, B = 0 уравнение Ax + D =0 описывает вертикальную прямую x = – D / A .

Прямая проходит через начало координат: f (0,0)=0 при D =0.

Благодаря свойству прямой разделять плоскость на две полуплоскости с противоположными знаками, неявное уравнение позволяет определять положение точки (точек) на плоскости относительно прямой:

1) точка q лежит на прямой, если f (q )=0;

2) точки a и b лежат по одну сторону от прямой, если f (a )∙ f (b )>0;

3) точки a и b лежат по разные стороны от прямой, если f (a )∙ f (b )0 точка a лежит в том же полупространстве, куда направлена нормаль, а угол Ð (a - p 0, N ) острый;

● при f (b )